El PDE de la cápsula y pisos

Question

Sé siguientes PDE es el continuous payment case, pero un caplet paga como tasa: $\max(r - r^*,0),$ uso la cobertura de la cartera de $\Pi = V- \Delta Z$ $$d\Pi = dV- \Delta dZ +\max(r - r^*,0)dt = r\Pi dt $$ a continuación, el resultado de la PDE debe ser $$\dfrac{\partial V}{\partial t} + LV-rV + \max(r - r^*,0) = 0$$ Aquí $L$ es Black-Scholes operador, y $Z$ es cero=cupón de los bonos respecto a la tasa de interés $r.$

Pero, ¿por qué en el siguiente libro, el término constante es de $\min(r,r^*)$ I no puede entender eso.

Answer 1

Debe ser un error tipográfico en la ecuación del libro. Que es la ecuación de una tableta es de la forma \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} + LV - r_t V +\max(r_t-r^*, 0) = 0, \end{align*} que también puede ser derivada usando la martingala enfoque.

Específicamente, tenga en cuenta que el acumulado de los pagos del tiempo $t$ a vencimiento $T$ es dada por \begin{align*} \int_t^T \max(r_s-r^*, 0)e^{\int_s^T r_u du} ds. \end{align*} Vamos a $B_t=e^{\int_0^t r_udu}$ ser el mercado de dinero de la cuenta de valor en el tiempo $t$. Entonces, el valor de la opción en vez de $t$ es dada por \begin{align*} V_t &= B_tE\left(\frac{\int_t^T \max(r_s-r^*, 0)e^{\int_s^T r_u du} ds}{B_T} \mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=B_tE\left(\frac{\int_0^T \max(r_s-r^*, 0)e^{\int_s^T r_u du} ds - \int_0^t \max(r_s-r^*, 0)e^{\int_s^T r_u du} ds}{B_T} \mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=B_tE\left(\frac{\int_0^T \max(r_s-r^*, 0)e^{\int_s^T r_u du} ds}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\derecho) \\ &\qquad - B_tE\left(\frac{\int_0^t \max(r_s-r^*, 0)e^{\int_s^T r_u du} ds}{B_T} \mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=B_tE\left(\frac{\int_0^T \max(r_s-r^*, 0)e^{\int_s^T r_u du} ds}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\derecho) -B_t\int_0^t \max(r_s-r^*, 0)e^{-\int_0^s r_u du} ds. \end{align*} Es decir, \begin{align*} M_t \equiv e^{-\int_0^t r_udu} V_t + \int_0^t \max(r_s-r^*, 0)e^{-\int_0^s r_u du} ds \end{align*} es una martingala. Suponemos que \begin{align*} dr_t = \mu(t, r_t) dt + \sigma(t, r_t) dW_t, \end{align*} donde $\{W_t, t \ge 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano. Entonces \begin{align*} dM_t &= -r_t e^{-\int_0^t r_udu} V dt + e^{-\int_0^t r_udu}\left(\frac{\partial V}{\partial t} + LV\derecho)dt\\ &\qquad + e^{-\int_0^t r_udu}\frac{\partial V}{\partial r}\sigma(t, r_t) dW_t + \max(r_t-r^*, 0)e^{-\int_0^t r_u du} dt. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} + LV - r_t V +\max(r_t-r^*, 0) = 0. \end{align*}

Answer 2

Exactamente cómo encontraste la primera ecuación:

$$ d\Pi = dV-\Delta dZ + max(r-r^*,0) dt = r \Pi dt\,? $$

Me refiero a ¿cómo funciona el plazo $max(r-r^*,0) dt$ aparece?

Entonces, vale la pena mencionar que:

$$ min(r,r^*) = - max(-r^*,-r) = -(max(r-r^*,0) - r) = r - max(r-r^*,0) $$

Tal vez esto último puede ayudar.