Propiedades de simetría, la Copula

Question

Estoy trabajando con el siguiente cópula, y tienen un par de preguntas al respecto:

$C(x,y) = xy + \theta (1-x)(1-y)xy$

Aquí $\theta \en [-1,1]$ y $x,y \in [0,1]$

En primer lugar, estoy tratando de mostrar esta cópula es d mayor. Para ello, tomé $\frac{\partial C}{\partial x \partial y}$ esperanza $\frac{\partial C}{\partial x \partial y} \geq 0$

Lo que terminó con $\frac{\partial C}{\partial x \partial y} = 1 + \theta \theta (1-2x-2y+4xy)$. Si pienso en el caso de que $x=0, y=1, \theta = -1$, entonces esto es igual a -1, por lo que mi condición no es satisfecha. Voy sobre el camino equivocado?

Segundo, estoy tratando de calcular la cópula de $(x,y^2)$. Mi primer pensamiento fue simplemente enchufe en $x=x, y=y^2$ en mi original de la cópula. Sin embargo, pensé que yo no podía hacer esto porque violaría el supuesto de uniforme márgenes (como $y^2$ ya no sería uniforme). Las sugerencias aquí?

Muchas gracias!

Answer 1

Para tu primera pregunta, y su derivada es incorrecta. En cambio es $\frac{\partial C^2}{\partial x \partial y} = 1+\theta(1-2x-2y+4xy)$. Tenga en cuenta también que $x+y-2xy \geq x^2 + y^2 -2xy = (x-y)^2 \geq 0$. Es decir, $1-2x-2y+4xy \leq 1$. Por otro lado, $1-2x-2y+4xy = 2(1-x)(1-y)+2xy - 1 \geq -1$. Entonces, $\frac{\partial C^2}{\partial x \partial y} \geq 0$ para $\theta \en [-1, 1]$.

En cuanto a la segunda pregunta, tenga en cuenta que la cópula función es invariante de cualquier monótona de las transformaciones, luego de la cópula por $(X, Y^2)$ es también dada por $C(x, y)$.