Derivación de la restricción presupuestaria intertemporal a partir de la restricción de flujo

Question

Estoy tratando de aprender a resolver ecuaciones de diferencia para derivar las restricciones presupuestarias intertemporales. Considere la restricción presupuestaria de flujo del gobierno:

$$\frac{B_{t}-B_{t-1}}{p_{t}} + \frac{M_{t}-M_{t-1}}{p_{t}} + s_{t} -i_{t-1}\frac{B_{t-1}}{p_{t}} = 0$$

donde $s_{t}$ son los impuestos reales netos del consumo del gobierno. Reescribo lo anterior como

$$\frac{R_{t}B_{t-1} + M_{t-1}}{p_{t}} = \frac{B_{t} + M_{t}}{p_{t}} + s_{t}$$

donde $R_{t}$ es el tipo de interés nominal bruto.

Ahora estoy bastante perdido. Creo que lo que me confunde es que tengo $t-1$ y $t$ términos en el lado izquierdo. Los ejemplos que he probado antes suelen ser de la forma $a_{t} = a_{t+1} + b_{t} +(...)$ que luego resuelvo "hacia adelante" sustituyendo por $a_{t+1}$ una y otra vez hasta que vea que se desarrolla un patrón. Pero en este caso realmente no puedo reescribir el LHS de manera adecuada.

¿Alguna idea sobre cómo debo proceder? Y si hay algún libro que repase las ecuaciones de diferencia me interesaría mucho algún nombre ya que hasta ahora soy autodidacta.

EDIT: Gracias a @luchonacho he conseguido lo siguiente:

$B_{t} = \frac{B_{t+T}}{R_{t+1}R_{t+2}...R_{t+T}} + \frac{D_{t+T}}{R_{t+1}R_{t+2}...R_{t+T}} ...\frac{D_{t+1}}{R_{t+1}}$ como estamos en un mundo de periodo inifito escribo esto como"

$B_{t} = \lim_{T\to\infty} \frac{B_{t+T}}{R_{t+1}R_{t+2}...R_{t+T}} + \sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{D_{t+j}}{\prod_{s=1}^{j} R_{t+s}}$

Puede que me haya equivocado en la notación de suma/producto, pero esta es una de las expresiones que he visto para la restricción intertemporal. Sin embargo, otra forma común que he visto escrita es la siguiente:

Ignora el lado derecho ya que asume una forma funcional de la función de utilidad. Me interesa obtener una expresión con ambos $B_{t-1}$ y $M_{t-1}$ en el LHS. ¿Hay alguna manera de pasar de la expresión que obtuve anteriormente a la que tiene ambos $B_{t-1}, M_{t-1}$ ? Estoy interesado en derivar esto porque quiero una expresión para la valoración de todos los pasivos del gobierno.

Answer 1

Toma tu segunda ecuación, adelántala un período y reordénala. Obtienes:

$$ B_t = \frac{p_{t+1} s_{t+1} + \Delta M_{t+1}}{R_{t+1}} + \frac{B_{t+1}}{R_{t+1}} $$

A continuación, defina el déficit primario nominal como $D_{t+1} = -(p_{t+1} s_{t+1} + \Delta M_{t+1})$ . Lo anterior se transforma en:

$$ B_t = -\frac{D_{t+1}}{R_{t+1}} + \frac{B_{t+1}}{R_{t+1}} $$

que tiene el formato que busca. Para hallar la restricción presupuestaria intertemporal de período infinito, basta con proceder a la sustitución hacia adelante.

La notación que he utilizado (respecto al déficit) está tomada de Wickens , Capítulo 5. Lo anterior es aproximadamente igual a la ecuación (5.11) del libro. Allí, el autor tiene una expresión más general, que incluye la inflación, el crecimiento del PIB y la relación deuda/PIB. Tu ejemplo es una simplificación del suyo. Le sugiero que revise Sección 5.4 del libro, que da un análisis muy detallado de la restricción presupuestaria del Gobierno (también da la solución que buscas, por si quieres comparar).

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Para encontrar la expresión final que buscas (después de la edición), toma tu segunda ecuación y reemplaza $B_t$ con la restricción presupuestaria intertemporal de período infinito:

$$\frac{R_{t}B_{t-1} + M_{t-1}}{p_{t}} = \frac{B^*_{t} + M_{t}}{p_{t}} + s_{t}$$

donde $B^*_t$ es el resultado del ejercicio de sustitución hacia delante.