Intertemporal de la utilidad a través de la maximización de consumo

Question

Necesito ayuda en la solución de esta pregunta de uno de los exámenes de ingreso.

Q.Considere una economía en la que un representante del agente de vidas durante tres períodos. En el primer período, ella es joven - este es el momento cuando ella se la educación. En el segundo período, ella es de mediana edad y con el nivel de de la educación adquirida en el primer período, genera ingresos. Más específicamente, si ella tiene $h$ unidades de educación en el primer período, puede gana $qu$, en el segundo período, donde $w$ es el exógenamente determinado salario la tasa.

El agente de préstamos de fondos para su educación cuando ella es joven y paga con interés cuando ella es de mediana edad. Si en el primer período, el agente pide prestado $e$, entonces el capital humano $h$ en el comienzo de la el segundo período se convierte en $h(e)$, donde $$dh/de > 0$$$$d^2h/de^2 < 0$$

En el tercer período de su vida, se consume fuera de su ahorro en el segundo período, es decir, cuando ella era de mediana edad. Asumir que la exógeno de la tasa de interés (bruto) en el ahorro o endeudamiento es $R$. Por simplicidad, se asume que un agente no consume cuando ella es joven y, por lo tanto, el tiempo de vida de la utilidad es de $u(c^m) + bu(c^o)$, donde $c^m$ y $c^o$ son el nivel de consumo cuando son de mediana edad y de edad, respectivamente, y $0<b<1$ es el factor de descuento.

1. Escribir el problema de maximización de utilidad del agente y de la primero las condiciones de la orden.

2. ¿Cómo funciona el nivel óptimo de educación varían con la tasa de salario y la tasa de interés?

No puedo entender cómo utilizar la tasa de interés. También tengo la siguiente respuesta a la 1:-

la maximización de$$U = u(c^m) + bu(c^o)$$ sometido a la restricción $$c^o/(1+r) + c^m = wh(e) - (1+r)e$$ a partir de la cual podemos obtener de Lagrange de primer orden ecuaciones.

No puedo ver cómo $R$ podría ser utilizado. También tiene un dudoso respuesta para 2.

Answer 1

Sugerencia : Usted puede escribir sus Lagrange y simplemente tomar derivados de acuerdo a $c^{o}$ y $c^{m}$. Así, se tienen principalmente dos condiciones de primer orden con un multiplicador de lagrange. Después, se combinan estas dos ecuaciones para eliminar el multiplicador de lagrange, que dará su intertemporal condición de optimalidad (la llamada ecuación de Euler). No escribo toda la maximización del problema, pero sólo a condición de Euler.

$$bu^{'}\left(c^{o}\right)=\frac{u^{'}\left(c^{m}\right)}{1+r}$$

El papel de la tasa de interés es bastante evidente. Si la tasa de interés aumenta, el marginal utiliy de consumir cuando el viejo disminuye, lo que significa que es óptimo para consumir más cuando es viejo. Intuitivamente, es plausible, si aumenta la tasa de interés, el costo de oportunidad de consumir hoy en día se incrementa.

Para la segunda pregunta, cuando se intenta encontrar un nivel óptimo de educación, usted debe tomar la derivada de acuerdo a la $e$. Así, el multiplicador de lagrange se cancela, lo que significa que usted encuentre un tanto estático problema. Usted tendrá ;

$$h^{'}(e)=\frac{1+r}{w}$$

Si el salario es más alto, utilidad marginal del capital es menor, lo que significa que el nivel de educación es más alto. Por lo tanto, si el salario es alto, hay más incentivos para invertir en capital humano. Usted puede hacer la inversa de la interpretación similar de la tasa de interés.