Consideramos un mercado financiero con tres activos: un bono cupón cero de la madurez $T_1$, el segundo con la madurez $T_2$ y el mercado de dinero de una cuenta de $B_t$. Asumiendo que el mercado de la tasa libre de riesgo $r_t$ es normalmente distribuida, el lugar de la dinámica de los activos en el riesgo-neutral de la medida $Q$ están dados por:
$$\begin{align}
\frac{\text{d}B_t}{B_t}&=r_t\text{d}t
\\[6pt]
\frac{\text{d}P(t,T_1)}{P(t,T_1)}&=r_t\text{d}t+\sigma(t,T_1)\text{d}W_t^{(1)}
\\[6pt]
\frac{\text{d}P(t,T_2)}{P(t,T_2)}&=r_t\text{d}t+\sigma(t,T_2)\text{d}W_t^{(2)}
\\[6pt]
\text{d}W_t^{(1)}\text{d}W_t^{(2)}&=\rho\text{d}t
\end{align}$$
El $T_1$-adelante de la medida $Q_{T_1}$ está definido de tal forma que la totalidad de los $T_1$-adelante activos son martingales. Vamos a definir:
$$\begin{align}
\tilde{B}_t &\triangleq \frac{B_t}{P(t,T_1)}
\\[6pt]
\tilde{P}(t,T_2)&\triangleq \frac{P(t,T_2)}{P(t,T_1)}
\end{align}$$
Por Itô del Lexema, los delanteros de la dinámica son:
$$\begin{align}
\frac{\text{d}\tilde{B}_t}{\tilde{B}_t} &= \sigma^2(t,T_1)\text{d}t\sigma(t,T_1)\text{d}W_t^{(1)}
\\[6pt]
\frac{\text{d}\tilde{P}(t,T_2)}{\tilde{P}(t,T_2)} &=\left(\sigma^2(t,T_1)-\rho\sigma(t,T_1)\sigma(t,T_2)\right)\text{d}t+\Sigma(t)\cdot\text{d}W_t\end{align}$$
donde:
$$\begin{align}
\Sigma(t)&\triangleq \bigg(-\sigma(t,T_1),\sigma(t,T_2)\bigg)
\\[2 pt]
W_t&\triangleq \bigg(W_t^{(1)},W_t^{(2)}\bigg)
\end{align}$$
Utilizando el teorema de Girsanov, se definen los $T_1$-forward medida que los siguientes procesos son Browniano Movimientos por debajo de los $Q_{T_1}$:
$$\begin{align}
\tilde{W}_t^{(1)}&=W_t^{(1)}-\int_0^t\sigma(s,T_1)\text{d}s
\\[6pt]
\tilde{W}_t^{(2)}&=W_t^{(2)}-\rho\int_0^t\sigma(s,T_1)\text{d}s
\end{align}$$
que se convierten en martingales el avance de la dinámica:
$$\begin{align}
\frac{\text{d}\tilde{B}_t}{\tilde{B}_t} &= \sigma(t,T_1)\text{d}\tilde{W}_t^{(1)}
\\[6pt]
\frac{\text{d}\tilde{P}(t,T_2)}{\tilde{P}(t,T_2)} &=\Sigma(t)\cdot\text{d}\tilde{W}_t\end{align}$$
Por lo tanto irregular dinámica debajo de los $T_1$-adelante medir son:
$$\begin{align}
\frac{\text{d}B_t}{B_t}&=r_t\text{d}t
\\[6pt]
\frac{\text{d}P(t,T_1)}{P(t,T_1)}&=\left(r_t+\sigma^2(t,T_1)\right)\text{d}t+\sigma(t,T_1)\text{d}\tilde{W}_t^{(1)}
\\[6pt]
\frac{\text{d}P(t,T_2)}{P(t,T_2)}&=\left(r_t+\rho\sigma(t,T_1)\sigma(t,T_2)\right)\text{d}t+\sigma(t,T_2)\text{d}\tilde{W}_t^{(2)}
\end{align}$$
