El esfuerzo de configuración del juego - no hay idea de por donde empezar

Question

He estado trabajando en este problema por un par de días, pero estoy completamente perdido sobre cómo empezar. Cualquier sugerencia, comentarios, sugerencias son muy apreciados. Aquí es un escenario:

Los participantes están compitiendo en un concurso en el que sólo los mejores 3 los productos serán seleccionados y premiados en la cantidad de $R$.

Para producir un producto, cada participante elige un nivel de esfuerzo $e$. El la calidad del producto p es una función de la $e$. Cada participante puede producir un solo producto.

Cada participante tiene una función de costo $c$, que en un convexo, creciente en función del nivel de esfuerzo que $e$ y el aumento en el costo parámetro $\theta$. Este parámetro $\theta$ distribuido uniformemente entre 0 y 1. Los participantes conocen su propia $\theta$ pero no sé a los demás. Aunque, ellos saben que la distribución de los $\theta$.

Las preguntas a la mano son:

1) Suponiendo que los participantes puedan observar a los demás el esfuerzo, ¿cuál es la probabilidad de que un participante que gastar un esfuerzo $e$ gana un competencia (su producto de calidad es uno de los 3 mejores)

2) la recompensa por la cantidad de $R$, lo que es el esfuerzo de equilibrio nivel de un participante con un costo parámetro $\theta$.

Para mí, esta pregunta es bastante similar a la fijación de precios por el problema: Si hay N los vendedores en el mercado con diferentes parámetros de costo, y los compradores están buscando el producto más barato, ¿cómo se va a precio de su producto? Sin embargo, no he podido encontrar una referencia acerca de la solución a este problema también.

De nuevo, las sugerencias, los comentarios, las sugerencias son muy apreciados. Muchas gracias!

Answer 1

Este problema es similar a la de primer precio (sellado-bid) subastas privadas independientes de los valores de los compradores. Usted puede leer acerca de aquellos para los exaxmple aquí.

Su primera pregunta fue ya ansewered en los comentarios: dado los esfuerzos de los demás que la probabilidad de obtener la recompensa es o 1. Supongamos que $e_1 \geq e_2 \geq \dots$ son los otros los esfuerzos de los jugadores y $e$ es el propio esfuerzo. Entonces $$ \Pr[\text{conseguir }R | e, e_e, e_2, \dots] = \begin{casos} 1 & \text{si } e > e_3 \\ 0 & \text{si } e < e_3 \\ \dots & \text{en caso contrario} \end{casos} $$ ¿Qué sucede en caso de empate no es exactamente especificado en la pregunta, pero como $\theta$ tiene una distribución continua, si $e(\theta)$ es estrictamente monótona borde de los casos suceden con 0 probabilidad. Sobre esta base, también se puede calcular lo que pasa si no hago la condición sobre otros jugadores estrategias (probablemente, usted debe mirar en el fin de estadísticas).

Ahora el jugador desea maximizar la siguiente: $$ De la UE(e) = \Pr[\text{conseguir }R | e]\times R - c(\theta, e) $$

1. Usted puede empezar por asumir que los jugadores siguen puro estrategias, por lo que $e_i = e(\theta_i)$.
2. Asimismo, se asume que el esfuerzo es estrictamente monótona decreciente en $\theta$.
3. Y por último, asumir que los jugadores tienen simétrica estrategias.

Ahora tienes que escribir la utilidad esperada se define anteriormente en términos de las integrales. Como de la hipótesis 2. (y la convexidad de $c$) se puede diferenciar con respecto a $e$ a conseguir un (suficiente) de primer orden de la condición. A continuación, usando la hipótesis 3. y la suerte se obtiene una solución de ecuaciones diferenciales, y esperamos que usted pueda encontrar una forma cerrada para la $e(\theta)$. Que va a ser su estrategia de equilibrio.

O para ser más precisos, una de las estrategias de equilibrio, como hemos centrado únicamente en un subconjunto (puro simétrica estrategias). Pero encontrar a los demás (o de demostrar que no existe ninguno) es mucho más difícil.

Espero que esto sea suficiente para empezar. Si te quedas atascado, con mucho gusto le ampliar esta respuesta con algunas fórmulas concretas.

Descargo de responsabilidad: he no resuelto este problema, pero como es muy similar a la previamente mencionada subasta problemas, este método debería funcionar.

No podría ser de otra manera, utilizando el principio de la revelación. Usted puede venir para arriba con un (segunda subasta de precios-como) juego donde informar de la veraz $e$ es la estrategia dominante, y tiene el mismo se espera ganar. Entonces usted podría relativamente sencillo calcular la espera en los pagos, y en base a eso, conseguir que las estrategias pueden ser bastante fácil. No estoy seguro de que este método funciona, pero si usted está interesado me puede mirar en él.