La interpretación de la Prima de Riesgo de Schwartz de un modelo de factor

Question

Tengo que lidiar con este modelo de factor:

\begin{ecuación*} \begin{casos} dS_t = \alpha \bigl(\mu \log(S_t) \bigr)S_t \, dt + \sigma S_{t} \, dW_t \, , t \geq 0,\\ S|_{t=0} = S_0 > 0, \end{casos} \end{ecuación*}

que me da el siguiente PDE para una opción Call Europea:

\begin{ecuación*} \begin{casos} \frac{\partial V}{\partial t} + \Bigl [ \alpha \Bigl(\mu - \frac{\lambda}{\alpha} - \log (S) \Bigr) S \Bigr ] \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV = 0, \\ V(S,T) = (S -K)^+, \end{casos} \end{ecuación*}

donde el parámetro $\lambda$ representa la prima de riesgo. La resolución numérica de la PDE, si aumento de $\lambda$ (por lo general me toma valores positivos), entonces el precio de la opción disminuye. Es posible? Y ¿cuál es la interpretación económica de este fenómeno? Gracias de antemano.

Answer 1

Asumo $\alpha>0$.

Deje que $V^\lambda$ ser la solución de : \begin{ecuación*} \begin{casos} \frac{\partial V^\lambda}{\partial t} + \Bigl [ \alpha \Bigl(\mu - \frac{\lambda}{\alpha} - \log (S) \Bigr) S \Bigr ] \frac{\partial V^\lambda}{\S parcial} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V^\lambda}{\partial S^2} - rV^\lambda = 0, \\ V^\lambda(S,T) = (S -K)^+, \end{casos} \end{ecuación*}

entonces usted quiere probar :

$$\lambda<\lambda' \Rightarrow V^\lambda \geq V^{\lambda'}$$

1. El uso de Feyman Kac para demostrar que, en $\mathbb{P}$, por que denota : $$dX^\lambda_t = \alpha(\mu-\frac{\lambda}{\alpha}-X^\lambda_t)dt-\frac{\sigma^2}{2}dt + \sigma dW_t$$

$$V^\lambda(t,S) = \mathbb{E}\left[ \a la izquierda.e^{-r(T-t)}\left(e^{X^\lambda_{T}}-K\derecho)^+ \derecho| X^\lambda_t = \ln S \derecho]$$

2. Demostrar el uso de Ito lema de que: $$X^{\lambda_1}_T - X^{\lambda_2}_T = e^{-\alpha(T-t)}(X^{\lambda_1}_t-X^{\lambda_2}_t)+(1-e^{-\alpha(T-t)})(\frac{\lambda_2}{\alpha}-\frac{\lambda_1}{\alpha})$$

3. El uso que $x\a (e^{x}-K)^+$ es creciente, probar que:

$$ \lambda_1 < \lambda_2 \Rightarrow V^{\lambda_1}(t,S)\geq V^{\lambda_2}(t,S)$$

Económico de la intuición

$\lambda \uparrow \Rightarrow \mu-\frac{\lambda}{\alpha} \downarrow \Rightarrow$ deriva de los activos es menor, tan menor tendencia, y desde la opción call es creciente con el precio de los activos, se obtiene valores más bajos.