La simplificación de un monoplist de la función objetivo bajo información incompleta

Question

Estoy trabajando a través de Rochet y Stohle (2003) capítulo multi-dimensional de detección, y estoy luchando llenar los espacios en blanco entre la ecuación (2.1) p. 154, y su forma simplificada en la página 155. En particular, mi pregunta se refiere a:

Los consumidores son de tipo $\theta$ $\en$ $\Theta$ = [$\subrayado\theta$, $\bar\theta$] con asociados cdf $F(\theta)$, que es absolutamente continua, y asociada a la función de densidad de $f(\theta)$ = $F'(\theta)$. Esta es la distribución de los tipos.

También hay una relación de preferencia para cada uno de los consumidores por $q \Q = [0,\bar q]$: $u = v(q, \theta) - P$ con el único cruce de la propiedad $v_{q\theta} > 0 $. Voy a añadir este para el contexto, pero toda la información puede no ser necesario para mi pregunta en particular.

Esto hace indirecto de una función de utilidad definida por:

$u(\theta) = \max_{\rm {q\Q}} \{v(q, \theta) - P(q)\}$

El monopolio de la empresa es el uso de un no-lineal arancel $P(q)$, y quiere maximizar su beneficio esperado (me estoy saltando alguna información que no sea necesaria para mi pregunta sobre lo que representa esta ecuación):

$E(\pi) = \int^\bar\theta_\subrayado\theta [S(p(\theta), \theta) - u(\theta)] dF(\theta)$ la ecuación (2.1) en el texto

sujeto a:

$du/d\theta = v_\theta(q(\theta), \theta)$

$dq(\theta)/d\theta\geq0 $

$IR\espacio restricción$

Tenga en cuenta que la función $S(q(\theta), \theta)$ no es importante para mi pregunta, por lo tanto, no estoy incluyendo su definición aquí.

Ahora a mi pregunta. Los autores hace una simplificación del problema:

$E(\pi) = \int^\bar\theta_\subrayado\theta [S(p(\theta), \theta) - \frac {1-F(\theta)}{f(\theta)}v_\theta(q(\theta), \theta) - u(\subrayado\theta)]dF(\theta)$

sujeto a:

$dq(\theta)/d\theta\geq0 $

$IR\espacio restricción$

Ahora, esto para mí es lo mismo que decir:

$\int^\bar\theta_\subrayado\theta u(\theta) dF(\theta) = \int^\bar\theta_\subrayado\theta [\frac {1-F(\theta)}{f(\theta)}v_\theta(q(\theta), \theta) + u(\subrayado\theta)]dF(\theta) $

Y aquí es donde necesito ayuda para llenar los pasos. Como explican las autoras, esto se realiza mediante la integración por partes, y el uso de una de las restricciones. Puedo obtener algo como esto:

$\int^\bar\theta_\subrayado\theta u(\theta) dF(\theta) = u(\theta)F(\theta)|^\bar\theta_\subrayado\theta \int^\bar\theta_\subrayado\theta F(\theta)v_\theta(q(\theta),\theta)d\theta$

Puedo simplificar esto un poco más, pero no simplificar los autores de expresión. Por lo tanto, ¿alguien puede ayudarme a llenar los espacios en blanco?

Espero que os he dejado la información suficiente, de lo contrario, por favor, hágamelo saber lo que necesito aclarar.

Answer 1

Voy a empezar a partir de la última ecuación.

\begin{align*} \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{u(\theta) dF(\theta)} & = \Big[ u(\theta)F(\theta) \Big]_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}} - \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\bar{\theta})F(\bar{\theta})-u(\underline{\theta})F(\underline{\theta})-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\bar{\theta})-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \text{ ya } F(\bar{\theta})=1, F(\underline{\theta})=0\\ & = u(\underline{\theta})+(u(\bar{\theta})-u(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{u'(\theta) d\theta}-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta}-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \text{ ya } u'=v_{\theta}\\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{(1-F(\theta)) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{\dfrac{1-F(\theta)}{f(\theta)} v_{\theta}(q(\theta),\theta) dF(\theta)} \\ & = \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{u(\underline{\theta})dF(\theta)}+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{\dfrac{1-F(\theta)}{f(\theta)} v_{\theta}(q(\theta),\theta) dF(\theta)} \\ & = \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{\Big[u(\underline{\theta})+\dfrac{1-F(\theta)}{f(\theta)} v_{\theta}(q(\theta),\theta) \Big]dF(\theta)} \end{align*}