¿Las opciones de compra y la cartera de las mismas opciones valen menos?

Question

Una cartera de posiciones largas en opciones de compra con el mismo vencimiento y los mismos strikes sobre diferentes activos vale más que una opción de compra sobre una cartera de los mismos activos con el mismo peso; es decir. $$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i C(T,K,S^{(t)},t) \geq C(T,K,\hat{S},t),$$ donde $\lambda_i\geq 0$ y $S^{(i)}$ para $i = 1,\ldots,n$ son activos y $\hat{S} = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i S^{(i)}$ es un valor de una cartera que tiene $\lambda_i$ unidades de activo $S^{(i)}$ para cada $i = 1,\ldots,n$ .

Esto parece una aplicación de la desigualdad del triángulo, pero no estoy seguro de cómo escribirla formalmente. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Para el caso en que $\sum_{i=1}^n \lambda_i =1$ Sólo hay que tener en cuenta que el pago \begin {align*} (x-K)^+ \end {align*} es una función convexa en $x$ . Es decir, \begin {align*} \Big ( \sum_ {i=1}^n \lambda_i S_i -K \Big )^+ \le \sum_ {i=1}^n \lambda_i (S_i-K)^+. \end {align*} Entonces \begin {align*} e^{-rT}E \left ( \Big ( \sum_ {i=1}^n \lambda_i S_i -K \Big )^+ \right ) \le \sum_ {i=1}^n \lambda_ie ^{-rT}E \left ((S_i-K)^+ \right ). \end {align*}