Dejemos que $\{X_i\}$ sea una muestra i.i.d. de $X$ con $E(X) = \mu$ y $Var(X) = \sigma^2$ . Sabemos que una estimación MC converge al valor verdadero casi con seguridad por la SLLN. Es decir, $$ \bar{X}_n \to \mu, \text{ a.s.} $$ Esto no nos dice nada sobre la tasa de convergencia. Para conseguirlo, parece que consideramos el CLT, para el que tenemos $$ \bar{X}_n - \mu \to^d \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right), $$ donde " $\to^d$ " es la convergencia en la distribución. Así, un aproximado Intervalo de confianza del 95% para $\mu$ es $$ \bar{X}_n \pm 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, $$ y supongo que ahora puedo ver dónde está la afirmación, "Monte Carlo converge a la velocidad $\frac{1}{\sqrt{n}}$ " viene de. Lo que la gente quiere decir con esto es, la media anchura del intervalo de confianza aproximado disminuye a razón de $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .
¿Es esto correcto? Si es así, parece una noción de convergencia muy diferente a la que estoy acostumbrado. Por ejemplo, mira el $L^2$ norma, lo que da $$ E((\bar{X}_n - \mu)^2) = Var(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} \to 0 \text{ as } n \to \infty, $$ por lo que también conseguir que $\bar{X}_n \to \mu$ en $L^2$ , lo que no se espera en general sólo a partir de la convergencia a.s. Sin embargo, no veo cómo esto implica una tasa de convergencia de $\frac{1}{\sqrt{n}}$ como se anuncia; más bien, dice $\bar{X}_n \to \mu$ en $L^2$ a un ritmo $\frac{1}{n}$ . Ahora este parece una noción rigurosa de la tasa de convergencia - hemos mostrado el sentido de la convergencia, y sabemos exactamente el ritmo al que lo hace.
Entonces, ¿por qué insistimos en utilizar la tasa de "convergencia" implícita en CLT de $\frac{1}{\sqrt{n}}$ cuando, para empezar, no es más que una aproximación y, además, es la forma más débil de convergencia.
