La integral $I_T$ es un estocástica de Itô integral, por tanto, su expectativa es $0$. Esto es debido a que $I_T$ es una martingala (ver, por ejemplo, el Teorema 4.3.1 en Shreve), por lo tanto:
$$\mathbb{E}[I_T]=I_0=0$$
También puede ver esta considerando la definición de una integral estocástica, la cual consiste en la suma de términos de la forma $f(W_{t_i})(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})$, y el uso de la independencia de Browniano incrementos de $W_{t_i}-W_0$ y $W_{t_{i+1}}-W_{t_i}$.
A partir de lo anterior, obtenemos:
$$\mathbb{V}[I_T]=\mathbb{E}[I_T^2]$$
Dado $I_T$ es una integral de Itô y que el proceso de $Z_t\triangleq \sqrt{|W_t|}$ está adaptado a la filtración generada por $W_t$, por Itô la Isometría:
$$\begin{align}
\mathbb{E}[I_T^2]&=\mathbb{E}\left[\int_0^TZ_t^2\text{d}t\right]
\\[3pt]
&=\int_0^T\mathbb{E}[|W_t|]\text{d}t
\end{align}$$
$W_t$ está normalmente distribuida. Por la simetría de la distribución Normal, la expectativa de $|W_t|$ es igual a dos veces la expectativa de $1_{\{W_t\geq0\}}W_t$, a saber:
$$\begin{align}
\mathbb{E}[1_{\{W_t\geq0\}}W_t]&=\int_0^\infty w\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{w^2}{2}}\text{d}w
\\[3pt]
&=\int_0^\infty v\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{v^2}{2}}\sqrt{t}\text{d}v
\\[3pt]
&=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_0^\infty ve^{-\frac{v^2}{2}}\text{d}v
\\[8pt]
&=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}
\end{align}$$
donde hemos realizado el cambio de variables $v=w/\sqrt{t}$. Por lo tanto $\mathbb{E}[|W_t|]=\sqrt{2t/\pi}$, de la que proviene:
$$\begin{align}
\mathbb{V}[I_T]&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^T\sqrt{t}\text{d}t
\\[6pt]
&=\sqrt{\frac{8}{9\pi}}T^{3/2}
\end{align}$$
Referencias
Shreve, S. (2004). Cálculo estocástico para Finanzas II, Springer.
