Estoy siguiendo vagamente la exposición dada en "Métodos de Monte Carlo en la Ingeniería Financiera por Glasserman.
Para un multifactorial OU proceso:
$dX(t)=C(b-X(t))dt+DdW(t)$
Donde C y D son d*d matrices a y b y X(t) son vectores de longitud d y W es una d dimensiones el movimiento browniano.
Señala que esto puede ser usado para definir un "exacto" de discretización similar a la 1D caso (Mostrado a continuación)
1D caso:
$dr(t)=\alpha(b-r(t))dt+\sigma dW(t)$
que tiene solución
$r(t)=exp^{-\alpha(t-u)}r(u)+\alpha\int_u^t \exp^{- \alpha(t-s)}b(s) ds+ \sigma \int_u^t \exp^{- \alpha(t-s)}dW(s)$
y puede ser simulado como
$r(t+1)=exp^{-\alpha(t_{i+1}-t_i)}r(t_i)+\mu(t_i,t_{t+1})+\sigma_r(t_i,t_{i+1})Z_{i_1} $ -- EQ1
donde $\mu(u,t)=\alpha \int_u^t \exp^{-\alpha(t-s)}b(s)ds$
si b es constante
$\mu=b(1-\exp^{-\alpha(t_{i+1}-t_i)})$
y
$\sigma_r^2(u,t)=\sigma^2 \int_u^t \exp^{-2\alpha(t-s)}ds=\frac{\sigma^2}{2 \alpha}(1-exp^{-2 \alpha(t-u)})$
volviendo a la multi-factor de caso
La solución general es
$X(t)=exp^{-C(t-u)}X(u)+\int_u^t \exp^{- C(t-s)}b ds+ \int_u^t \exp^{- C(t-s)}DdW(s)$ -- EQ2
Sin embargo, él también va a mostrar que cuando C es diagonizable usando $VCV^{-1}=\Delta$
$dY(t)=VX(t)$
que después de la simplificación se convierte en
$dY(t)=\Delta(\tilde{b}-Y(t))dt+d \tilde W(t)$
con $\tilde{W}$ una $BM(0,\Sigma)$ donde $\Sigma=VDD NO'$
Esto puede ser modelado como
$Y_j(t+1)=exp^{-\lambda_j (t_{i+1}-t_i)}Y_j(t_i)+(\exp^{\lambda_j(t_{i+1}-t_i)}-1)\tilde{b}_j +\sqrt{\frac{1}{2 \lambda_j}(1-exp^{(-2\lambda_j(t_{i+1}-t_i)})}\xi_j(i+1)$ EQ3
donde $\xi(1), \xi(2)$ son independientes $N(0,\Sigma)$.
Lo que se reduce a un sistema de escalar simulaciones
Entonces puede recuperar el valor de $X(t)$ con $X(t)=V(t)^{-1}Y(t)$
Mi pregunta es
1.) Puedo ejecutar el multifactorial OU proceso sin hacer el diagonalisation, yo.e el uso de la solución general Eq2 y la discretización esquema se muestra en la EQ1? (si no, ¿por que no?)
Me doy cuenta de que la segunda solución, la utilización de la diagonalisation debo favorable es más limpio (y más rápido), pero me gustaría ser capaz de simular el proceso de dos maneras, de modo que puedo probar los modelos de uno contra el otro.
2.) Si la respuesta a la pregunta 1 es no, ¿cómo puedo benchmark mi modelo a enusre es correcta.
