pregunta acerca de las tintas/vol correlación

Question

En este papel de la Interacción entre La Volatilidad Estocástica y Correlaciones en la Equidad Autocallables por Alvise De Col, Patrick Kuppinger (2017) https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3228065, mencionó

Estoy confundido por la última ecuación, ¿cómo hizo el papel de obtener $dW_{s1} dW_{v2} = \rho_s \rho_{sv} dt$, dado que

$dW_{s1} dW_{v1}=dW_{s2} dW_{v2}=\rho_{sv}dt$

y $dW_{s1} dW_{s2} = \rho_s dt$,

el $dW_{s1} dW_{v2}$ debe ser

$[\rho_s \rho_{sv} - \sqrt{1-\rho_s^2}\sqrt{1-\rho_{sv}^2} ] dt$ o

$[\rho_s \rho_{sv} + \sqrt{1-\rho_s^2}\sqrt{1-\rho_{sv}^2} ] dt$

Cualquier ayuda se agradece.

Por cierto, gracias @noob2 para la edición, es mucho más fácil de leer ahora.

Answer 1

La costumbre ansatz para este tipo de configuraciones es encontrar los componentes de una descomposición de Cholesky de la matriz de correlación de su estocástico controladores de $dW_{S_1}, dW_{S_2}, dW_{V_1}, dW_{V_2}$ tal que se cumplen todas las condiciones.

Supongamos un 4x4 matriz de correlación $R$ que se descompone el uso de Cholesky para

$$ L(R) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & d & 0 & 0 \\ b & e & g & 0 \\ c & f & h & i \end{pmatrix} $$
tales que $LL^T=R$, es decir,

$$ LL^T = \begin{pmatrix} 1 & a & b & c \\ . & a^2+b^2 & ab+de & ac+df \\ . &. & b^2+b^2+g^2 & ac+ef+gh \\ .& . & . & c^2+b^2+h^2+y^2 \end{pmatrix} $$

Ahora vamos a identificar las filas / columnas con $S_1$, $S_2$, $V_1$, $V_2$, y poner en todos los supuestos de su texto, además de los habituales suposiciones con respecto a las diagonales de la matriz de correlación:

• $\mathrm{E}(dW_{S_1}dW{S_2})=a=\rho_Sdt$
• $\mathrm{E}(dW_{S_1}dW{V_1})=b=\rho_Vdt$
• $\mathrm{E}(dW_{S_1}dW{V_2})=c=\rho_S\rho_Vdt$
• $\mathrm{E}(dW_{S_2}dW_{V_1})=ab+de=\rho_S\rho_Vdt$
• $\mathrm{E}(dW_{S_1}dW_{S_1})=1dt$
• $\mathrm{E}(dW_{S_2}dW_{S_2})=a^2+b^2=1dt$
• $\mathrm{E}(dW_{V_1}dW_{V_1})=b^2+b^2+g^2=1dt$
• $\mathrm{E}(dW_{V_2}dW_{V_2})=c^2+b^2+h^2+y^2=1dt$

A continuación, puede proceder a resolver para todas las variables. La inspección de cerca muestra que hay un grado adicional de libertad:

• $\mathrm{E}(dW_{V_1}dW_{V_2})=ac+ef+gh=Adt$

Con estos ingredientes, usted puede simplemente y resolver iterativamente para $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ y obtener una matriz de correlación cumplimiento de todas las condiciones, es decir,

$$ R=\mathrm{E} \begin{pmatrix} dW_{S_1}dW_{S_1} & dW_{S_1}dW_{S_2} & dW_{S_1}dW_{V_1} & dW_{S_1}dW_{V_2}\\ dW_{S_1}dW_{S_2} & dW_{S_2}dW_{S_2} & dW_{S_2}dW_{V_1} & dW_{S_2}dW_{V_2}\\ dW_{S_1}dW_{V_1} & dW_{S_2}dW_{V_1} & dW_{V_1}dW_{V_1} & dW_{V_1}dW_{V_2}\\ dW_{S_1}dW_{V_2} & dW_{S_2}dW_{V_2} & dW_{V_1}dW_{V_2} & dW_{V_2}dW_{V_2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \rho_S & \rho_V & \rho_S\rho_V \\ \rho_S & 1 & \rho_S\rho_V & \rho_V \\ \rho_V & \rho_S\rho_V & 1 & A \\ \rho_S\rho_V & \rho_V & A & 1 \end{pmatrix}dt $$

Usted puede pensar (el vector) de su correlación estocástico conductores como una transformación lineal de correlación estocástico controladores $d\tilde{W}_i$, transformado por el menor Cholesky:

$$ dW=Ld\tilde{W} $$ y así

\begin{align} \mathrm{E}\left(dW\left(dW\right)^T\right)&=L\mathrm{E}\left(d\tilde{W}\left(d\tilde{W}\right)^T\right)L^T\\ &=L\mathrm{I}L^T\\ &=LL^T\\ &=Rdt \end{align}

donde $\mathrm{I}$ es la matriz identidad.