¿Cómo analizar este juego de adivinanzas?

Question

A veces juego a las adivinanzas con un amigo. Así que fx podríamos intentar adivinar cuántas personas viven en Rusia. La persona A dice 100 millones y la persona B dice "más" o "menos". Si B dice "más" y, de hecho, en Rusia viven más de 100 millones, entonces B gana y a la inversa. ¿Es justo este juego? Tengo la intuición de que B probablemente tiene ventaja, pero no estoy seguro de cómo analizar formalmente la situación.

Answer 1

Esta es una pregunta interesante.

Parece que el juego no es justo: El jugador A se encuentra en una situación de gran desventaja.

Imaginemos que cada jugador tiene su propia distribución de probabilidad de creencias que es una distribución de muestreo de alguna distribución poblacional centrada en el valor verdadero. Ambos jugadores son conscientes de ello y conocen su propia distribución, pero no tienen más información sobre la distribución de creencias del otro.

Las estrategias óptimas son que el jugador A adivine el centro de su propia distribución y que B adivine "Más" si el centro de la distribución de B está por encima de la adivinación de A y "Menos" si está por debajo.

El jugador A ganará si su estimación está entre el valor real y la estimación del jugador B.

-Dado que hay un 50% de posibilidades de que cualquiera de los dos aciertos esté por encima o por debajo del valor real, el 50% de las veces los aciertos estarán a ambos lados del valor real y el jugador B ganará, independientemente de cuál de los dos aciertos esté más cerca.

Por simetría:

-El 25% de las veces sus conjeturas estarán en el mismo lado del valor real y las del jugador B estarán más cerca. El jugador B también ganará aquí (merecidamente).

-El 25% de las veces sus conjeturas estarán en el mismo lado del valor real y la del jugador A estará más cerca. En este caso, el jugador A ganará (merecidamente).

Por lo tanto, el jugador A sólo ganará 1/4 de las veces.

Sin embargo, el juego también se complica cada vez más cuando se permite que cada jugador tenga creencias de primer orden sobre las creencias del otro (es decir, información específica sobre la forma y el centro de la distribución de creencias del otro), porque entonces existe la oportunidad de que, por ejemplo, A explote su creencia de que la conjetura de B está por debajo del valor real adivinando un poco menos de lo que lo haría de otro modo. Y con las creencias de segundo orden las cosas se vuelven aún más complejas, y así sucesivamente. No estoy seguro de si la desventaja del jugador A es robusta a estos matices, pero sigue siendo bastante sorprendente para mí que un juego que a primera vista parece justo es en realidad, en condiciones normales, bastante desigual.

Answer 2

Las respuestas anteriores que sugieren que B tiene ventaja son correctas bajo varios supuestos tácitos . Sin embargo, en el caso general es imposible decir quién tiene ventaja. Esto depende de la pregunta y de la precisión de la información que poseen los jugadores.

Ejemplo: Considere la pregunta: ¿Cuántas patas tiene un escarabajo? Obviamente, el jugador A tiene ventaja aquí.

Answer 3

¡Una gran pregunta! Aunque no voy a intentar hacer un análisis completo, he aquí algunas observaciones:

Observación 1 : En este juego, el jugador 1 carece de una estrategia dominante.

Para ver esto, supongamos que el jugador 2 elige la estrategia (poco inteligente) de decir "más" independientemente del número que proponga el jugador 1. En ese caso, el jugador 1 querrá obviamente declarar un número muy alto (para asegurarse de que el jugador 2 se equivoca). Por el contrario, si el jugador 2 dice "menos" casi siempre, el jugador 1 querrá decir un número muy bajo. Así que lo que el jugador 1 quiera hacer depende de la estrategia del jugador 2, lo que hace que la situación sea teórica.

Para avanzar más, supongamos que las creencias de cada jugador sobre la cantidad desconocida pueden representarse mediante una función de densidad de probabilidad suave sobre algún subconjunto de la recta real (es decir, veremos la cantidad a estimar como una variable continua). Para simplificar las cosas, supongamos además que ambas distribuciones de probabilidad son simétricas y están centradas en el valor verdadero. Entonces tenemos:

Observación 2 : Si los jugadores tienen la el mismo creencias, entonces existe un equilibrio en el que la probabilidad de ganar de cada jugador es del 50%.

Más concretamente, supongamos que los jugadores utilizan las siguientes estrategias:

• El jugador 1 adivina la mediana de la distribución (podemos hablar de "la" distribución ya que las creencias de los jugadores, que es lo que representa la distribución, son las mismas).
• El jugador 2 dice "más alto" si el jugador 1 adivina débilmente menos que la mediana de la distribución. El jugador 2 dice "más bajo" si el jugador 1 acierta estrictamente más que la mediana.

En el equilibrio, el jugador 1 adivina la mediana y el jugador 2 dice "más alto" (ya que la adivinación es débilmente inferior a la mediana). Esto se cumple el 50% de las veces, por lo que cada jugador tiene un 50% de posibilidades de ganar. Además, está claro que se trata de un equilibrio:

• Si el Jugador 1 aumentara su estimación, el Jugador 2 diría "más bajo". Pero la jugadora 2 tendría razón más del 50% de las veces, por lo que la jugadora 1 habría reducido sus posibilidades de ganar. Del mismo modo, si la jugadora 1 redujera su estimación, la jugadora (todavía) diría "más alto", pero la jugadora 1 estaría ahora en lo cierto más del 50% de las veces.
• Dada la estrategia del jugador 1, el número verdadero tiene la misma probabilidad de ser mayor o menor que el adivinado. Por lo tanto, el jugador 2 no puede hacer más que decir que es "mayor", ganando así el 50% de las veces. (Decir "más bajo" sería igualmente bueno, pero no una mejora estricta).

Por último, pasemos al caso más realista en el que las creencias de los jugadores pueden diferir. En general, podemos ver esto como un juego bayesiano en el que el jugador 1 elige una regla que especifica una conjetura para cada creencia posible (es decir, distribución) que podría tener; y el jugador 2 especifica una regla que especifica si dice "mayor" o "menor" dependiendo de (i) la conjetura del jugador 1 (ii) la creencia previa del jugador 2 (distribución). Por desgracia, encontrar los equilibrios de este juego parece un poco complicado. Sin embargo, podemos observar lo siguiente:

Observación 3: En cualquier equilibrio, el jugador 2 debe ganar con una probabilidad de al menos el 50%.

Para ver esto, supongamos que el jugador 2 sigue la misma estrategia que la anterior: decir "más alto" si la conjetura es inferior a la mediana de su distribución (del jugador 2), y decir "más bajo" en caso contrario. En general, esta estrategia no es óptima, ya que no tiene en cuenta la información que pueda transmitir la respuesta del jugador 1. Sin embargo, incluso utilizando esta sencilla estrategia, la jugadora 2 ganará al menos la mitad de las veces (ya que hemos asumido que su distribución está centrada en el valor real).

Answer 4

El juego no es justo. B tiene ventaja.

La definición de la palabra "información" en el siguiente análisis significa conocimiento del área del juego.

Considere los siguientes escenarios.

Escenario uno: Los jugadores tienen la misma información.

Si el juego fuera justo en este escenario, ambos jugadores deberían tener la misma probabilidad de ganar. Podemos ver que este es el caso. Supongamos que ambos jugadores tienen información cero. Entonces A tiene un 50/50 de probabilidades de ser demasiado alto o demasiado bajo. Y B tiene un 50/50 de posibilidades de acertar el resultado. Ambos jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar.

Segundo escenario: A tiene más información que B; pero la información de A no es perfecta.

En este caso, "justo" debería significar que A tiene más posibilidades de ganar que B. Pero podemos ver que esto no es cierto. Supongamos que B tiene cero información y que su respuesta se obtiene lanzando una moneda. Las probabilidades de ganar de B seguirían siendo del 50/50. B podría esencialmente lanzar una moneda al azar para su respuesta y esperar ganar el juego el 50% de las veces.

Escenario tres: B tiene más información que A; pero la información de B no es perfecta.

En este caso, esperaríamos que justo signifique que las probabilidades de que B gane sean mayores que las de A. Podemos ver que este es el caso. Supongamos, por ejemplo, que A tiene cero información y, por tanto, su apuesta se realiza eligiendo un número al azar. Si B tiene alguna información, sus probabilidades de ganar son significativamente superiores al 50%.

Dado que el juego arroja un resultado justo en los escenarios uno y tres, pero el resultado está ponderado a favor de B en el escenario dos, debemos concluir que el juego no es justo y que B tiene ventaja.

Answer 5

Creo que esto se mantiene en el caso de que asumamos que cada jugador extrae de una distribución normal en la que la respuesta real es la media (en promedio adivinan correctamente). Si el jugador A acierta G1, la probabilidad de que la respuesta de la segunda persona esté en el mismo lado que la media (y, por tanto, abarque la media) es mayor que la probabilidad de que no lo esté.