¡Una gran pregunta! Aunque no voy a intentar hacer un análisis completo, he aquí algunas observaciones:
Observación 1 : En este juego, el jugador 1 carece de una estrategia dominante.
Para ver esto, supongamos que el jugador 2 elige la estrategia (poco inteligente) de decir "más" independientemente del número que proponga el jugador 1. En ese caso, el jugador 1 querrá obviamente declarar un número muy alto (para asegurarse de que el jugador 2 se equivoca). Por el contrario, si el jugador 2 dice "menos" casi siempre, el jugador 1 querrá decir un número muy bajo. Así que lo que el jugador 1 quiera hacer depende de la estrategia del jugador 2, lo que hace que la situación sea teórica.
Para avanzar más, supongamos que las creencias de cada jugador sobre la cantidad desconocida pueden representarse mediante una función de densidad de probabilidad suave sobre algún subconjunto de la recta real (es decir, veremos la cantidad a estimar como una variable continua). Para simplificar las cosas, supongamos además que ambas distribuciones de probabilidad son simétricas y están centradas en el valor verdadero. Entonces tenemos:
Observación 2 : Si los jugadores tienen la el mismo creencias, entonces existe un equilibrio en el que la probabilidad de ganar de cada jugador es del 50%.
Más concretamente, supongamos que los jugadores utilizan las siguientes estrategias:
- El jugador 1 adivina la mediana de la distribución (podemos hablar de "la" distribución ya que las creencias de los jugadores, que es lo que representa la distribución, son las mismas).
- El jugador 2 dice "más alto" si el jugador 1 adivina débilmente menos que la mediana de la distribución. El jugador 2 dice "más bajo" si el jugador 1 acierta estrictamente más que la mediana.
En el equilibrio, el jugador 1 adivina la mediana y el jugador 2 dice "más alto" (ya que la adivinación es débilmente inferior a la mediana). Esto se cumple el 50% de las veces, por lo que cada jugador tiene un 50% de posibilidades de ganar. Además, está claro que se trata de un equilibrio:
- Si el Jugador 1 aumentara su estimación, el Jugador 2 diría "más bajo". Pero la jugadora 2 tendría razón más del 50% de las veces, por lo que la jugadora 1 habría reducido sus posibilidades de ganar. Del mismo modo, si la jugadora 1 redujera su estimación, la jugadora (todavía) diría "más alto", pero la jugadora 1 estaría ahora en lo cierto más del 50% de las veces.
- Dada la estrategia del jugador 1, el número verdadero tiene la misma probabilidad de ser mayor o menor que el adivinado. Por lo tanto, el jugador 2 no puede hacer más que decir que es "mayor", ganando así el 50% de las veces. (Decir "más bajo" sería igualmente bueno, pero no una mejora estricta).
Por último, pasemos al caso más realista en el que las creencias de los jugadores pueden diferir. En general, podemos ver esto como un juego bayesiano en el que el jugador 1 elige una regla que especifica una conjetura para cada creencia posible (es decir, distribución) que podría tener; y el jugador 2 especifica una regla que especifica si dice "mayor" o "menor" dependiendo de (i) la conjetura del jugador 1 (ii) la creencia previa del jugador 2 (distribución). Por desgracia, encontrar los equilibrios de este juego parece un poco complicado. Sin embargo, podemos observar lo siguiente:
Observación 3: En cualquier equilibrio, el jugador 2 debe ganar con una probabilidad de al menos el 50%.
Para ver esto, supongamos que el jugador 2 sigue la misma estrategia que la anterior: decir "más alto" si la conjetura es inferior a la mediana de su distribución (del jugador 2), y decir "más bajo" en caso contrario. En general, esta estrategia no es óptima, ya que no tiene en cuenta la información que pueda transmitir la respuesta del jugador 1. Sin embargo, incluso utilizando esta sencilla estrategia, la jugadora 2 ganará al menos la mitad de las veces (ya que hemos asumido que su distribución está centrada en el valor real).
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¿Qué quiere decir con justo?
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@Herr K . Estoy bastante seguro de que el OP quiere decir: "¿Tiene cada persona las mismas posibilidades de ganar? No sé cómo formalizarlo, pero no creo que sea así porque, para que sea justo, cada persona tendría que conocer las expectativas de la otra. Las posibilidades de que eso sea así son escasas.
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Bueno, no estoy muy seguro de lo que quiero decir. Especificar lo que es justo probablemente haría gran parte del trabajo de formalizar la situación. Supongo que lo que pretendo es algo así: La persona que es epistémicamente superior debería ganar siempre el juego. Si la respuesta correcta es 101 millones y B piensa que la respuesta correcta es 200 millones, entonces A tiene en cierto sentido más razón pero B ganará. Pero me gustaría ver qué herramientas analíticas existen para analizar situaciones como ésta.