Opción de búsqueda para encontrar el precio de las acciones

Question

Considere la ecuación de pago para la opción de mirar hacia atrás $ \psi (T)= max(S_t-S_T)$ donde $t \in [0,T]$ y $S_t$ está modelado por el movimiento geométrico Browniano con parámetros constantes. Encuentra el precio de las acciones en el momento actual.

He investigado un poco y esta opción parece similar a la de la huelga flotante. Pero aún no sé cómo abordar este problema. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Abajo asumo que te referías: $ \psi (T) = \max (S_t - S_T, 0) $ que constituye el pago de un comienzo de la marcha hacia adelante en lugar de un Mirada retrospectiva opción. Si no, por favor, aclare su pregunta...

Si está buscando el precio de la opción $V_0$ asumiendo una difusión de Black-Scholes (GBM + tasas de interés constantes), tienes

\begin {alineado*} V_0 &= P(0,T) E[ \psi (T) \vert \mathcal {F}_0] \\ & = P (0,T) E \left [ (S_t - S_T)^+ \vert \mathcal {F}_0 \right ] \\ & = P (0,T) E \left [ E [ (S_t - S_T)^+ \vert \mathcal {F}_t ] \vert \mathcal {F}_0 \right ] \\ & = P (0,t) E \left [ P (t,T) E [ (S_t - S_T)^+ \vert \mathcal {F}_t ] \vert \mathcal {F}_0 \right ] \\ &= P (0,t) E \left [ P_{BS}(S_t; S_t, T-t) \vert \mathcal {F}_0 \right ] \\ &= P (0,t) E [ S_t P_{BS}(1; 1, T-t) \vert \mathcal {F}_0 ] \\ &= P (0,t) F (0,t) P_{BS}(1; 1, T-t) \end {alineado*}

Donde $P(s,t) = e^{-r(t-s)}$ denota un factor de descuento genérico y cada una de las sucesivas igualdades proviene de:

1. La prima de opción como expectativa de riesgo neutral

2. Definición del pago de la opción

3. Propiedad de la torre de expectativa condicional

4. Composición de los factores de descuento

5. Precio de una opción de venta que, según los supuestos de la modelización, viene dada por la fórmula BS (el primer argumento denota el precio de la acción, el segundo el nivel de ejecución y la última vez hasta el vencimiento)

6. Homogeneidad espacial de la fórmula BS

7. El precio a plazo como expectativa de riesgo neutro ( $P_{BS} (1;1,T-t)$ es determinista)

Tenga en cuenta que, debido a que el precio a plazo $F (0,t) $ es directamente proporcional al precio spot $S_0$ obviamente puedes inferir el valor spot si conoces la prima de la opción $V_0$ . En realidad, asumiendo que no hay dividendos: $V_0 = S_0 P_{BS}(1; 1, T-t) $

Sin embargo, no veo el punto de hacer eso, excepto por alguna diversión puramente académica.