Volumen deseado de la cartera según la teoría de la utilidad

Question

Estoy trabajando en un modelo de juguete, en el que un inversor tiene que decidir (basándose en alguna teoría de la utilidad) cuánto dinero invertir en una cartera determinada. Para simplificar, supongamos que la cartera ya está construida, tiene una rentabilidad esperada $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ que son conocidos por el inversor. Si el inversor invierte $x$ en la cartera, obtiene $(1+\rho)x$ en el siguiente paso donde $$ \rho \sim\mathscr N(\mu,\sigma^2) $$ es un rendimiento estocástico de la inversión. Supongamos que en el momento actual el inversor tiene $X$ como su capital. ¿Existe alguna fórmula de la teoría de la utilidad sobre cómo calcular el nivel deseado de inversiones dado $X,\mu$ y $\sigma$ - y quizás algunos parámetros adicionales como la aversión al riesgo del inversor?

Answer 1

Un enfoque es utilizar una función de utilidad exponencial: $U(x) = -e^{-\lambda x}$ . Aquí, $\lambda$ registra lo que se conoce como aversión absoluta al riesgo . Las funciones de utilidad exponencial son agradables porque tienen una propiedad de independencia de la riqueza (por supuesto, esto puede ser visto como un inconveniente). Como veremos a continuación, el capital inicial $X$ no juega ningún papel en la decisión de inversión óptima. Esta decisión sólo depende de $\lambda$ . Consideremos la utilidad del agente después de invertir $x$ dólares. Esto es

$$ U(X + \rho x) = -e^{-\lambda (X + \rho x)} = e^{-\lambda X} \cdot \left( -e^{-\lambda \rho x} \right). $$ El primer término anterior no depende de $x$ y es positivo. Por lo tanto, sólo tenemos que optimizar (minimizar) el segundo término sobre $x$ . Se trata de la propiedad de independencia de la riqueza. El segundo término es $$ -\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda x y} e^{\frac{-(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}}dy. $$ Podemos evaluarlo analíticamente completando el cuadrado, obteniendo $$ -\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{-(y - \mu + \sigma^2 \lambda x)^2}{2 \sigma^2}} e^{-\mu \lambda x + \frac{\sigma^2 \lambda^2 x^2}{2}} dy = -e^{-\mu \lambda x + \frac{\sigma^2 \lambda^2 x^2}{2}}. $$ El lado derecho anterior se maximiza cuando $-\mu \lambda x + \frac{\sigma^2 \lambda^2 x^2}{2}$ se minimiza.

Diferenciando, conseguimos el óptimo $x^* = \frac{\mu}{\sigma^2 \lambda}$ . Esto tiene sentido al menos cualitativamente. Invertimos más cuando $\mu$ es mayor, menor cuando $\sigma^2$ es mayor, y menor cuando $\lambda$ (nuestro nivel de aversión al riesgo), es mayor.