Calcular la deriva de Movimiento Browniano usando el método de Euler

Question

Estoy trabajando en un proyecto para aproximar numéricamente la solución $X_t$ de una ecuación diferencial estocástica (SDE) mediante el método de Euler. Que tengo que hacer para esto para el movimiento Browniano con deriva. Se me pide para estimular $N$ senderos bajo los P y Q medida en el intervalo $[0,T]$. El pseudo código es el siguiente:

para i a N-1

• calcular la deriva como función de la anterior precio de la acción ($\mu$)
• calcular la volatilidad en función de la anterior precio de la acción ($\sigma$)
• dibujar la innovación de la distribución normal estándar ($\epsilon$)
• $S_{t+i} = S_t + \mu_t dt + \sigma_t \sqrt{dt } \epsilon_t$. siguiente

donde $dt$ se define como $(T-0)/$N.

Mi código es el siguiente:

nr_runs = 1000; %number of simulation runs
N       = 1000; %compute N grid points
t0      = 0;
T       = 10;

dt      = (T - t0) / N;
x0      = 0; %starting point
x       = zeros(1000);
mu      = 0;
sigma   = zeros(1000);

    for i = 1:N
        sigma(i)   = sqrt(i*dt); %under P measure, variance equal to time
        epsilon = normrnd(0,1);
        if i == 1
            x(i)    = x0 + mu*dt + sigma(i)* sqrt(dt)*epsilon;
        else
            x(i+1)  = x(i) + mu*dt + sigma(i)* sqrt(dt)*epsilon;
        end
    end  

M = mean(x);

Sin embargo, sé que no tengo idea de cómo calcular la deriva ($\mu$) desde el anterior precio de las acciones. ¿Cuál es la fórmula?

Gracias! Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

En aritmética browniano, la deriva no depende del precio anterior, por lo que es simplemente $\mu \Delta t$ como lo han hecho. Depende el precio anterior en geométrico browniano, aunque. Recordemos el GBM ecuación:

$dS_t=\mu S_t dt +\sigma S_t dB_t$

Discretising: $\Delta S_t=\mu S_t \Delta t + \sigma S_t \sqrt{\Delta t} N[0,1]$

$S_{t+1}-S_t=\mu S_t \Delta t + \sigma S_t \sqrt{\Delta t} N[0,1]$

$S_{t+1}=S_t \left( 1+\mu \Delta t \derecho)+ \sigma S_t \sqrt{\Delta t} N[0,1]$

El primer término en el lado derecho es la deriva.

Re-observación, simulación llevaría a la deriva y tomo como entradas. Si no te han dado ellos, entonces usted tendrá que calibrar los parámetros a partir de valores históricos (medida física) o corriente derivado de los precios(riesgo neutro) de datos. Por ejemplo, para calibrar la aritmética browniano en virtud de la medida física, el enfoque más simple sería el siguiente: tomar el stock de precios históricos, convertir los precios en las devoluciones, por ejemplo, acaba de generar retorno diario como $S_{t+1}-S_t$ ($\ln S_{t+1}/S_t$ para GBM), calcule la media y la desviación estándar de los retornos, y estos son sus diarios a la deriva y sigma. Annualising ellos le darán los parámetros que necesita. Por supuesto que hay más sofisticados métodos de estimación que usted puede buscar en google.