¿Exactitud de la discretización de Euler Monte Carlo sin conocer la solución exacta?

Question

Utilizando la discretización de Euler Monte Carlo (para un modelo Hull-White) simulamos $$r(t+\Delta t)=r(t)+\lambda(\theta(t)-r(t))\Delta t+\eta\sqrt{\Delta t}Z$$ con $Z\sim N(0,1)$ , $\lambda$ , $\eta$ constantes y $\theta(t)$ una función conocida hasta un determinado $T$ para estimar la expectativa de una función $h(r(T))$ Por lo tanto $$\frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}h(r_{i}(T))\rightarrow\mathbb{E}[h(r(T))]$$ a medida que el número de caminos crece o $N\rightarrow\infty$ . La solución exacta de $\mathbb{E}[h(r(T))]$ no se conoce, por lo que mi pregunta es: ¿Qué se puede afirmar sobre la precisión de esta discretización de Euler Monte Carlo con respecto al número de trayectorias $N$ ?

Hasta ahora, he encontrado que la varianza de nuestro estimador disminuye con el orden $N^{-1}$ ya que $$\mathbb{Var}[\frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}h(r_{i}(T))]=\frac{1}{N}\mathbb{Var}[h(r(T))]$$ Esto implica que la varianza de la función $h(r(T))$ y así de nuevo $\mathbb{E}[h(r(T))]$ debe ser conocido, que no lo es. Además, el teorema del límite central establece que la distribución de probabilidad del error converge a una distribución normal con media $0$ y la varianza $\frac{\mathbb{Var}[h(r(T))]}{N}$ que, de nuevo, se desconoce. Por lo que sé, no se conoce nada excepto el orden de convergencia de la varianza del error. ¿Hay algo que se pueda afirmar sobre el error con respecto a la cantidad de caminos utilizados en Monte Carlo sin conocer la solución exacta para $\mathbb{E}[h(r(T))]$ ?

Answer 1

Gran parte de su pregunta ya tiene respuesta.

¿Qué puede decirse de la precisión de esta discretización de Euler Monte Carlo con respecto al número de trayectorias $N$ ?

Como has dicho, el teorema del límite central dice que nuestra estimación formada a partir de la media empírica es una variable aleatoria normal, centrada en la respuesta correcta, y con una varianza que decae con el número de caminos. Por lo tanto, el error $\epsilon \approx \sqrt{\tfrac{\mathbb{V}(h)}{N}} \propto N^{-1/2} $ . Esto es independiente de si utilizamos el esquema Euler-Maruyama o cualquier otro método. Sin embargo, la sutileza es que esto supone que fuimos capaces de muestrear exactamente de la distribución final y no necesitamos simular la trayectoria de la SDE. Si necesitamos simular la trayectoria utilizando el esquema de Euler-Maruyama (EM), se introduce un nuevo tipo de error, que se conoce como compensación de varianza y sesgo $$ \mathbb{E}\left(\left(\mathbb{E}(X) - \frac{1}{N}\sum \hat{X}_i\right)^2\right) = \frac{\mathbb{V}(X)}{N} + \left(\mathbb{E}(X - \hat{X})\right)^2. $$ Este segundo término, que es el sesgo, se ve afectado por la elección del esquema de aproximación (Euler-Maruyama, Milstein, etc.). Se conoce como error débil, y para el esquema de Euler-Maruyama tiene un orden de convergencia débil de $1$ . Si quieres entender esto (o una versión similar conocida como el error fuerte con orden de convergencia $\tfrac{1}{2}$ ) entonces es cuando te preocupas por el error/convergencia específicamente del esquema Euler-Maruyama.

¿Hay algo que se pueda afirmar sobre el error con respecto a la cantidad de caminos utilizados en Monte Carlo sin conocer la solución exacta para $\mathbb{E}[h(r(T))]$ ?

Aunque por supuesto no sabemos exactamente $\mathbb{E}(h)$ ni $\mathbb{V}(h)$ utilizamos el método de Monte Carlo para estimar ambos ¡la primera y la segunda! Podemos obtener una estimación insesgada de la primera utilizando la media empírica, y una estimación sesgada de la segunda utilizando la varianza empírica (una estimación insesgada se normaliza por $\tfrac{1}{N-1}$ en lugar de $\tfrac{1}{N}$ ). Si quiere, puede incluso ir más allá y calcular el error de su estimación de la varianza, pero esto suele ser excesivo. Por lo tanto, no es necesario conocer estos números a priori .

Si realmente quieres modelar mejor cómo converge el error (por ejemplo, la rapidez con la que se llega a una normal), entonces el teorema de Berry-Esseen será de utilidad, y aunque puedes estimar el error en tu error, no creo que sea necesario.