Tengo el siguiente escenario:
Dejemos que $X_i$ denotan el hecho de que alguna institución $i$ (no te preocupes por la definición exacta de "default" aquí, no es relevante para la pregunta en cuestión). Ahora, tengo 10 instituciones en mi muestra y he calculado las siguientes probabilidades:
$P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10})$
$P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_{8} \cap X_{10} | X_{9})$
$\vdots$
$P(X_2 \cap \cdots \cap X_{9} \cap X_{10} | X_{1})$
En palabras, las expresiones anteriores representan la probabilidad (conjunta) de impago de las instituciones "restantes" dado que una institución concreta ha incumplido.
Para calcular estas probabilidades, conozco la distribución de probabilidad subyacente que describe todo el sistema, es decir $p(x_1, x_2, \cdots. x_{10})$ Así, por ejemplo, el cálculo de la probabilidad $P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10})$ simplemente requiere que encuentre $\frac{P(X_1 \cap \cdots \cap X_{10})}{P(X_{10})}$ donde tanto el denominador como el numerador pueden calcularse integrando sobre determinadas regiones de la función de densidad de probabilidad $p(x_1, x_2, \cdots. x_{10})$ .
Mi pregunta es, deseo encontrar un valor resumen que describa la probabilidad media de incumplimiento de este sistema, por ejemplo $P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10})= 0.4$ , $P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_{8} \cap X_{10} | X_{9})= 0.3$ etc, ¿cómo puedo "combinar" esto $0.4$ , $0.3$ etc. en un valor que describa la probabilidad "media" de impago de este sistema? Mi método inicial es simplemente tomar la media aritmética de cada probabilidad condicional, pero eso es matemáticamente incorrecto las probabilidades condicionales no son sumables (excepto cuando están condicionadas al mismo evento). Entonces, ¿hay alguna otra medida/técnica que pueda utilizar para "combinar" de alguna manera estas probabilidades individuales en "un" valor?
Permítanme poner esto en contexto para hacer las cosas más concretas.
Imagina que cada evento es el acontecimiento en el que un banco entra en impago. Por impago, quiero decir que los activos del banco caen por debajo de algún umbral predeterminado. Entonces, digamos que tenemos una muestra de 10 bancos. Todo el "sistema" es el universo de estos 10 bancos. Quiero averiguar cuál es la "contribución" del impago de cada banco al resto del sistema, es decir, dado que un banco incumple, cómo afecta eso a la probabilidad de impago del resto del sistema (es decir, los 9 bancos restantes). Para ello, he modelado la distribución de activos subyacente (conjunta) de este sistema de bancos. Luego, calculando la probabilidad $P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10})$ representa la "contribución" del incumplimiento del 10º banco sobre el resto del sistema. Del mismo modo, $P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_{8} \cap X_{10} | X_{9})$ representa el impacto del incumplimiento del 9º banco en el resto del sistema. Ahora, dado que he calculado la "contribución" del impago de cada banco, quiero encontrar un solo valor que describe la "contribución" media de los impagos de cada banco sobre el resto del sistema.
