Estimación paramétrica de la densidad neutral de riesgo/distribución implícita

Question

desde hace mucho tiempo estoy luchando con una pregunta particular con respecto a la estimación paramétrica de la densidad neutral de riesgo (o probabilidad implícita) a partir de los precios de las opciones.

Quiero seguir el enfoque paramétrico de minimizar las desviaciones al cuadrado de los precios teóricos y observados como se describe, por ejemplo, en Bahra (1997, p. 22 y siguientes) ( http://www.bankofengland.co.uk/archive/Documents/historicpubs/workingpapers/1997/wp66.pdf ).

Como sabemos y como se indica en la ecuación (10) y (11) de Bahra (1997), los precios teóricos de las opciones de compra y de venta vienen dados por los pagos esperados descontados, es decir

\begin {Edición} c(X, \tau ) = e^{-r \tau } \int_ {S_T = K}^{ \infty } q(S_{T})(S_{T} - X)dS_{T} \\ p(X, \tau ) = e^{-r \tau } \int_ {S_T = K}^{ \infty } q(S_{T})(X - S_{T} )dS_{T}, \end {Ecuación}

con $X$ como precio de ejercicio, $\tau$ el tiempo de maduración, $r$ el tipo de interés sin riesgo, $S_{T}$ el precio del activo subyacente al vencimiento y $q(S_{T})$ la densidad neutra del riesgo con alguna forma funcional específica (log-normal, mezcla de log-normales, etc.).

Los parámetros $\theta$ de la densidad neutral de riesgo son obviamente desconocidos, y por eso minimizamos la distancia al cuadrado entre los precios de compra/venta teóricos y los del mundo real, $\hat{c}_{i},\hat{p}_{i}$ por ejemplo $\theta$ es decir

\begin {Edición} min_{ \theta } ( \sum_ {i=1}^{n} (c(X, \tau ) - \hat {c}_{i})^2 + \sum_ {i}^{m}(p(X, \tau ) - \hat {p}_{i})^2 ) \end {Ecuación}

Esta es una versión simplificada de la ec. (17) de Bahra.

Digamos que asumimos $q(S_{T})$ para ser lognormal con expectativa $\alpha$ y la varianza $\beta$ . Personalmente, ahora utilizaría algún tipo de optimizador para obtener estos parámetros. Sin embargo, en la literatura de la estimación de la densidad neutra de riesgo, se suele suponer además que $\alpha = ln S_{t} + (\mu - 0.5\sigma^2)\tau$ y $\beta = \sigma\sqrt\tau$ , donde $\mu, \sigma$ son parámetros del modelo Black-Scholes.

Mi pregunta ahora es si realmente necesitamos hacer esta suposición o si podemos simplemente optimizar sobre dos parámetros que están libres de cualquier suposición.

Tengo esta duda, porque en mi caso concreto, mi subyacente de la opción no es un activo, sino los tipos de interés, es decir, un índice (este tipo de opciones se llaman caps y floors). Por lo demás, el planteamiento es el mismo, pero me pregunto si tendría sentido asumir $\alpha = ln S_{t} + (\mu - 0.5\sigma^2)\tau$ y $\beta = \sigma\sqrt\tau$ (por ejemplo, los tipos de interés, es decir $S_{t}$ podría ser negativo, lo que causaría un problema)

Agradecería cualquier comentario.

Answer 1

1. Si se asume que, bajo $\Bbb{Q}$ se tiene la siguiente distribución paramétrica para los precios de los activos $$ S_T \sim logN(\alpha,\beta) $$ sí se puede optimizar directamente para $\alpha$ y $\beta$ . Sin embargo, dado que su función objetivo implica llamar/poner precios y no la densidad en sí, debe expresar estos precios como funciones de $\alpha$ y $\beta$ (*). Dada la hipótesis lognormal, se vuelve a caer en el famoso marco de modelización de Black-Scholes, de ahí el vínculo establecido entre $(\alpha,\beta)$ y $(\mu=r-q, \sigma)$ .

2. La hipótesis lognormal no tiene sentido si se trata de modelar tipos de interés negativos. Se puede postular cualquier distribución cuyo soporte sea $\Bbb{R}$ en lugar de $\Bbb{R}^+$ Por ejemplo $$ S_T \sim N(\alpha, \beta) $$ y optimizar para $\alpha$ , $\beta$ . Una vez más, lo único que queda por hacer es encontrar la expresión de los precios de compra/venta bajo los supuestos de modelización postulados (en este caso la distribución normal, de ahí el modelo de Bachelier).

(*) En realidad, podrías simplemente expresar los precios usando las formas integrales que mencionas en tu post original, pero esto es menos eficiente computacionalmente (requiere una integración numérica) que si usas una fórmula de forma cerrada, obviamente.