Utilizar la distribución NIG para modelar la trayectoria de las existencias

Question

Me gustaría utilizar la simulación de Montecarlo para fijar el precio de algunas opciones. Primero utilizo el enfoque estándar donde el precio de las acciones se describe mediante el siguiente proceso: $$S_T = S_0\exp \left[(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T}\varepsilon\right],$$ donde $S_0$ es el precio inicial de las acciones en el momento $t = 0$ , $S_T$ es el precio de las acciones en el momento $T$ , $T$ es un paso de tiempo, $r$ es el tipo de interés libre de riesgo, $\sigma$ es una desviación estándar si los rendimientos de las acciones y $\varepsilon$ es una variable independiente distribuida normalmente $\varepsilon \sim \phi(0, 1)$ En este modelo se supone que los rendimientos logarítmicos del precio de las acciones tienen una distribución normal, de modo que $\log{\frac{S_T}{S_0}} \sim \phi(\mu, \sigma^2)$ donde (a partir del Lemma de Ito) $\mu = (r - 0.5\sigma^2)T$ y $var = \sigma^2T . $

Ahora asumo que los retornos del precio de una acción siguen Distribución gaussiana inversa normal (NIG). Mi pregunta es si puedo incluir en mi fórmula $S_T$ Proceso NIG con parámetros estimados (usando MLE) en lugar de $\varepsilon$ y luego comparar los precios de las opciones? El proceso será el siguiente: $$S_T = S_0\exp \left[(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma T\varepsilon^*\right],$$ donde $\varepsilon^* \sim NIG(\hat{\mu}, \hat{\alpha}, \hat{\delta}, \hat{\beta}).$

Supongo que las propiedades de NIG no me permiten hacer tales manipulaciones, pero no estoy seguro de dónde encontrar la solución a este problema. ¡Cualquier sugerencia es bienvenida!

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Muchas gracias @Quantuple por la ayuda:

Answer 1

Suponiendo que haya utilizado este definición para la distribución de NIG y que has conseguido llegar a estimaciones $(\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\mu}, \hat{\delta} )$ de los parámetros individuales del NIG, su pregunta se reduce a:

"Cómo simular trayectorias a partir del proceso global de retorno de registros $R_t = \ln(S_t/S_0)$ para todos $t \in [0,T]$ asumiendo que es i.i.d. $NIG(\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\mu}, \hat{\delta} )-$ distribuidos periódicamente (en su caso diariamente)?"

En primer lugar, no, no se puede utilizar la ecuación que mencionas.

Sin embargo, como la distribución NIG es un caso especial de mezcla normal de varianza y media (ver este documento, página 14 ), si se deja \begin{align} \sigma^2 &\sim IG\left( \frac{\delta}{\gamma}, \delta^2 \right),\ \ \text{with } \gamma = \sqrt{ \alpha^2 - \beta^2 } \\ \varepsilon &\sim \mathcal{N}(0,1) \end{align} entonces la variable aleatoria $X$ definido como $$ X = \mu + \beta \sigma^2 + \sigma \varepsilon $$ sigue un $NIG(\alpha,\beta,\mu,\delta)$ distribución.

Ahora, dejemos que $r_{\delta t, i}$ denotan el $\delta t$ -período de retorno logarítmico observado para un determinado $t_i \in [0,T]$ $$ r_{\delta t, i} := \ln\left( \frac{S_{t_i}}{S_{t_i-\delta t}} \right) $$

A continuación, se puede proceder de la siguiente manera para generar las realizaciones del proceso de devolución global $(R_t)_{t\geq 0}$ .

1. Bajo los supuestos de i.i.d. NIG-distribuido $\{r_{\delta t, i}\}$ estimar los parámetros del NIG $(\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\mu}, \hat{\delta} )$ a partir de datos históricos utilizando su método favorito (estimación de máxima verosimilitud, coincidencia de momentos, etc.).

2. Para simular los rendimientos logarítmicos periódicos $\{r_{\delta t,i}\}_{i=1,...,N}$ (en la práctica $N = T/\delta t$ donde $T$ cifra el horizonte de su simulación MC y $\delta t$ la duración del período en el que prevalecen los rendimientos logarítmicos periódicos individuales) utilizan el resultado clave mencionado anteriormente al (i) generar $\sigma_i^2 \sim IG(\hat{\delta}/\hat{\gamma}, \hat{\delta}^2)\ \ \text{i.i.d.}$ (ver aquí, por ejemplo ), (ii) generando $\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,1) \ \ \text{i.i.d.}$ (iii) cálculo $$ r_{\delta t,i} = \hat{\mu} + \hat{\beta} \sigma_i^2 + \sigma_i \varepsilon_i $$

3. Una vez que todos $\{r_{\delta t, i}\}_{i=1,...,N}$ se han simulado, construir el proceso de retorno global $(R_t)_{t\geq 0}$ agregando un cierto número $n$ de las devoluciones periódicas. De hecho, para cualquier $t \in [0,T] $ el retorno global del registro $R_t := \ln(S_t/S_0)$ se calcula como: \begin{align} R_t &= \ln\left(\frac{S_t}{S_0}\right) \\ &= \ln\left(\frac{S_t}{S_{t-\delta t}} \frac{S_{t-\delta t}}{S_{t- 2\delta t}} \dots \frac{S_{\delta t}}{S_{0}}\right) \\ &= \sum_{ t_i \in [\delta t, t] } \ln \left( \frac{S_{t_i}}{S_{t_i-\delta t}} \right) \\ &= \sum_{i \leq n} r_{\delta t,i} \end{align}

Este método fue propuesto por primera vez por Rydberg en:

T. H. Rydberg. The normal inverse Gaussian Lévy process: simulation and approximation. Comm. Statist. Estocástico Models, 13(4):887-910, 1997.