La demanda de la función de utilidad, dados los precios y el presupuesto

Question

1. Tengo que encontrar la demanda del consumidor a precios $ \textbf {p} = (1,1,1)$ y el presupuesto $m=4$ cuando la función de utilidad está dada por $$u(x_1,x_2,x_3) = 3 \sqrt {x_1+x_2+2x_3}$$ o cuando se transforman $$ \hat {u}(x_1,x_2,x_3) = x_1+x_2+2x_3 $$

   Sé que la respuesta es $ \textbf {x} = (0,0,4)$

Lo que no entiendo: Para los sustitutos perfectos la demanda está dada por $x_1^* = \frac {m}{p_1}$ así que la demanda debería haber sido $ \textbf {x} = (4,4,4)$ . Pero, ¿por qué es $x_1^*,x_2^* = 0$ ?

2. Para la misma función de utilidad quiero encontrar la demanda a precios $p=(2,3,p_3) >>0$ y el presupuesto $m>0$ .

   La respuesta es \begin {ecuación} \textbf {x} = \left (0,0, \frac {m}{p_3} \right ) \quad \text {cuando}  \quad p_3<4 \end {ecuación} \begin {ecuación} \textbf {x} = \left ( \frac {m}{2},0,0 \right ) \quad \text {cuando}  \quad p_3>4 \end {ecuación} \begin {ecuación} \textbf {x} = \left ( \frac { \alpha m}{2}, 0, \frac {(1- \alpha )m}{4} \right ) \quad \text {cuando}  \quad p_3=4 \end {ecuación} donde $ \alpha \in [0,1]$ porque el consumidor es indiferente entre los paquetes

Lo que no entiendo: ¿Por qué la demanda es diferente dependiendo de lo que $p_3$ es y ¿cómo sé cuando la demanda es diferente? Personalmente, habría dicho que la demanda es $ \textbf {x} = \left ( \frac {m}{2}, \ \frac {m}{3}, \ \frac {m}{p_3} \right )$

Answer 1

En cuanto a la primera pregunta, @Oliv sugiere en los comentarios que se escriba formalmente el problema del consumidor, la limitación del presupuesto, Kunh-Tucker multiplicadores y todo, y resolverlo (cuidadosamente - las funciones objetivas lineales se engañan fácilmente cuando estamos acostumbrados a tratar con las no lineales), es el camino a seguir para ver cómo la configuración matemática te llevará a la respuesta que te mira a la cara:

Nuestro propósito aquí es maximizar el índice de utilidad. Dados los precios unitarios, ¿no es obvio que la función multivariable

$$ \hat {u}(x_1,x_2,x_3) = x_1+x_2+2x_3$$

tomará su máximo valor si compramos sólo los bienes $x_3$ ? Por cualquier pequeña cantidad $ \Delta x_3$ de $x_3$ que no compras, pierdes $2 \Delta x_3$ en términos de utilidad, mientras que sólo se gana (en términos de utilidad) $ \Delta x_1 + \Delta x_2 = \Delta x_3$ para cualquier combinación de $ \Delta x_1$ y $ \Delta x_2$ . Desde $2 \Delta x_3 > \Delta x_3$ será subóptimo comprar algo más que $x_3$ . Esa fue la parte de la "lógica simple", y espero que responda a la " lo que no entiendo ..." aspecto de su pregunta. Ponga el modelo en matemáticas para reconciliar esta aritmética obvia con el enfoque formal.