Es necesario indiferencia condiciones en la mezcla de equilibrio

Question

Supongamos que estamos jugando a un juego donde el conjunto de Acciones para el Jugador 1 es $(a,b)$, para el Jugador 2 es $(c,d)$, y para el Jugador 3 es $(L,M,R)$. Suponga que para el Jugador 3, la acción $M$ es débilmente dominada por algunas mezcla entre $L$ y $R$. Estoy tratando de encontrar todas las posibles mixto de equilibrios.

Deje que $p$ ser la probabilidad de que el Jugador 1 elige $a$, vamos $q$ ser la probabilidad de que el Jugador 2 elige $c$, y dejar $r_1, r_2, r_3$ ser las probabilidades de que el Jugador 3 elija $L, M, R$ , respectivamente.

Tengo dos preguntas:

En primer lugar, porque la acción $M$ es débilmente dominada por el Jugador 3, no todo el mundo asume que $r_2=0$?

Segundo, las probabilidades de $p$ y $q$ están sujetos a la restricción de que el Jugador 3 ser indiferente entre sus propias acciones. Si el Reproductor 3 necesita ser indiferente entre $L$, $M$y $R$, o simplemente entre $L$ y $R$, desde $M$ es débilmente dominada?

Answer 1

En primer lugar, porque la acción $M$ es débilmente dominada por el Jugador 3, no todo el mundo asume que $r_2=0$?

Sin ver el juego que usted está considerando, es difícil decir. Pero en general, la respuesta es No. Débilmente dominada estrategias puede ser jugado en un equilibrio de Nash (ya sea puro o mixto). En el siguiente juego, $B$ y $C$ son débilmente dominada estrategias para ambos jugadores. Pero cada jugador de forma aleatoria entre ellos en cualquier proporción es todavía un NE.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & B&C\\\hline A&1,1&0,0&0,0\\\hline B&0,0&0,0&0,0\\\hline C&0,0&0,0&0,0\\\hline \end{array}

Si el Reproductor 3 necesita ser indiferente entre $L$, $M$y $R$, o simplemente entre $L$ y $R$, desde $M$ es débilmente dominada?

La indiferencia condición para MSNE se aplica a puro estrategias en la manutención del equilibrio estrategia mixta. Si $M$ es jugado con probabilidad positiva en equilibrio, entonces usted tendría la indiferencia a través de los tres. Si $M$ es jugado con probabilidad cero, entonces usted tendría $u_3(\sigma_1,\sigma_2,L)=u_3(\sigma_1,\sigma_2,R)\ge u_3(\sigma_1,\sigma_2,M)$

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Más en general, las condiciones necesarias y suficientes para que un equilibrio de Nash (puro o mixto) se resumen en el siguiente teorema:

Una estrategia perfil de $(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ es un equilibrio de Nash si y sólo si para todo $i=1,\dots,$ n, \begin{ecuación} u_i(s_i,\sigma_{-i})= u_i(s_i',\sigma_{-i}), \qquad \forall s_i,s_i'\en\mathrm{supp}(\sigma_i) \end{ecuación} y \begin{ecuación} u_i(s_i,\sigma_{-i})\ge u_i(s_i',\sigma_{-i}), \qquad \forall s_i\en\mathrm{supp}(\sigma_i)\text{ y }\forall s_i'\noen\mathrm{supp}(\sigma_i). \end{ecuación}

Por lo tanto, vemos que la indiferencia condición sólo es necesario para puro estrategias en la manutención del equilibrio estrategia mixta, pero no necesariamente fuera de ella.