¿Cómo calcular el precio a plazo utilizando una cartera de réplica?

Question

Publico esta pregunta aquí ya que no he recibido respuesta en la comunidad de Matemáticas.

Estoy tratando de entender cómo la replicación de carteras puede ayudarnos a determinar los precios justos.

Supongamos que tenemos un contrato a plazo de 3 años sobre 30 activos en el que cada activo paga un dividendo de \$15 in one year and \$ 10 en dos años. Los ingresos se invierten en bonos de cupón cero con vencimiento a $t=3$ años. El precio al contado ahora es $S_0=\$ 1000$ y el tipo de interés es del 3% compuesto continuamente.

Consideremos una cartera A con 30 activos. Cree una cartera de réplica B utilizando un contrato a plazo sobre 30 activos con precio a plazo $K$ y los depósitos bancarios para determinar $K$ .

Calculo que el valor futuro de la cartera original A de 30 activos es $$30S_3+30(10 \cdot e^.03+15\cdot e^.06)$$ en $t=3$ años (los pagos se invierten en un banco). No tenemos $K$ aquí ya que no estamos en un contrato? Quiero que esto sea igual al valor de la cartera B para poder utilizar la ley de un precio. El valor del contrato a plazo de B es $30S_3-K$ y por tanto necesito depósitos bancarios por valor de $$30 S_3+30(10 \cdot e^.03+15\cdot e^.06)-(30S_3-K)=K+30(10 \cdot e^.03+15\cdot e^.06).$$ Por lo tanto, necesito depositar $$Ke^{-3\cdot 0.03}+30\cdot(10 \cdot e^.03+15\cdot e^.06)e^{-3\cdot 0.03}$$ en $t=0$ años. Por la ley del precio único, las carteras valen lo mismo a $t=0$ así que $$30S_0=Ke^{-3\cdot 0.03}+30\cdot(10 \cdot e^.03+15\cdot e^.06)e^{-3\cdot 0.03}$$ y así obtengo $$K=e^{3\cdot0.03}\cdot30 \cdot 1000-30\cdot(10 \cdot e^.03+15\cdot e^.06)=\$ 32038.27$$ ¿Funciona mi enfoque?

Answer 1

Tal vez pueda explicarse de forma más sencilla de la siguiente manera, en términos de lo que ocurre en distintos momentos:

1) En el momento 0 yo (el arbitrajista) tomo prestado $30\cdot S_0$ de un banco y utilizarlo para comprar 30 activos.

2) En el momento 3 todavía tengo los 30 activos, y debo al banco $30\cdot S_0 \cdot e^{.09}$ . También tengo los dividendos que se han invertido temporalmente y que ahora valen $30(10e^{.03}+15e^{.06})$ como has dicho. Esto es útil para pagar (parcialmente) el préstamo. Todavía tengo que llegar a $$K =30\cdot S_0 \cdot e^{.09}-30(10e^{.03}+15e^{.06})$$ para el reembolso del préstamo.

Si das esta cantidad $K$ en el momento 3 y te entrego los 30 activos, me saldré del paso. Así que este es el precio a plazo que yo/nosotros debemos acordar hoy. Numéricamente el valor que obtengo es $K=32038.626$