Aproximación de diferentes volatilidades

Question

Supongamos que modifico el tipo de cambio a plazo lognormal

$$dS_t = \sigma_{ln}S_tdW_t$$

Por otro lado, podríamos modelarlo simplemente con un supuesto normal:

$$dS_t = \sigma_{n}dW_t$$

Me gustaría saber si existe una relación para las volatilidades $\sigma_n,\sigma_{ln}$ ? Un amigo me dijo, que vio la aproximación

$$\sigma_n\approx \sigma_{ln}S_t$$

Sin embargo, ni mi amigo ni yo fuimos capaces de justificar esta aproximación. Entonces, ¿es una aproximación válida? Si es así, ¿por qué y si no, cómo puedo relacionar las dos volatilidades?

Answer 1

Podría ayudar a mirar las soluciones de los SDE que tienes ahí. En el primer caso $$ S_t/S_0 = \exp(-\sigma^2/2 t + \sigma B_t) \quad \quad (1) $$ Por lo tanto, si se toma el registro entonces $\sigma$ es la volatilidad de los rendimientos logarítmicos (suponiendo que $t=1$ paso de tiempo),.

En el segundo caso $$ S_t = S_0 + \sigma B_t \rightarrow S_t - S_0 = \sigma B_t \quad \quad(2) $$ entonces $\sigma$ es la volatilidad de las diferencias absolutas.

Volviendo a tu pregunta real, la solución debería ser una simple expansión de la exponencial.

Tomemos la solución del movimiento browniano geométrico anterior (1) y observemos el paso de tiempo de $\Delta t$ : $$ S_{t + \Delta t} = S_t \exp(-\sigma_{ln}^2/2 \Delta t + \sigma_{ln} B_{t+\Delta t}) \approx S_t \exp( \sigma_{ln} B_{t+\Delta t}) $$ donde observamos que $\sigma_{ln}^2/2$ es pequeño. Además, hay que tener en cuenta que $$ \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n/n! \approx 1 + x $$ donde el último paso es una aproximación para $x$ pequeño, por lo tanto $$ S_{t + \Delta t} \approx S_t (1+ \sigma_{ln} B_{t+\Delta t}) $$ y finalmente (después de multiplicar y reordenar los términos) $$ S_{t + \Delta t} - S_t \approx S_t \sigma_{ln} B_{t+\Delta t} $$ La última ecuación es de la forma (2) con $\sigma = \sigma_{ln} S_t$ .

Answer 2

Para cualquier variable normal, se tiene $$aX\sim N(a\mu,a^2\sigma^2).$$ Así que una transformación lineal preserva el tipo de distribución (nótese que $dW_t\sim N(0,dt)$ ).

Cuando quiera aproximarse $dS_t$ al establecer $dS_t=dS_t$ , anulando el $dW_t$ lo consigues:

$$\sigma_{ln}S_t=\sigma_n$$