¿Es necesario asumir que los rendimientos subyacentes son normales en el modelo BSM, dado el Teorema del Límite Central?

Question

Estoy tratando de entender mejor el Teorema Central del Límite y cómo se puede utilizar en la vida y en las finanzas. Por lo que he leído, el modelo BSM supone que los rendimientos simples del activo subyacente se distribuyen normalmente. También asume que los precios de los activos subyacentes están distribuidos normalmente.

Mi primera pregunta es: ¿Necesitamos siquiera suponer que los rendimientos simples subyacentes son normales, dado que el CLT existe?

Supongamos que la rentabilidad simple, R, sigue una distribución de forma desconocida. S es el precio del activo subyacente. Sabemos:

S1 = S0 * (1 + R0)

S2 = S1 * (1 + R1) = S0 * (1 + R0) * (1 + R1)

Sn = S0 * (1 + R0) * (1 + R1) * ... * (1 + Rn)

ln(Sn) = ln(S0) + ln(1 + R0) + ln(1 + R1) + ... + ln(1 + Rn)

Según CLT, a medida que n se acerca al infinito, la distribución de la suma de ln(1 + R0) + ... + ln(1 + Rn), debería acercarse a una distribución normal, lo que implica que ln(Sn) es normal, lo que implica que la propia S está distribuida lognormalmente. Por lo tanto, ¿importa incluso que supongamos que los rendimientos simples son normales, ya que la CLT hará que ln(S) se aproxime a la normalidad independientemente de la distribución de R?

Mi segunda pregunta es: Si no importa que hagamos la suposición de normalidad, ¿por qué en la valoración de opciones, o en las finanzas en general, hablamos a menudo de colas gordas y de no normalidad? ¿No debería el CLT hacer que la forma de la distribución fuera irrelevante? Entiendo que empíricamente hay colas gordas, y entiendo que el supuesto de normalidad facilita las matemáticas.

Gracias.

Answer 1

Intentaré ser lo más conciso posible. La suma de los rendimientos logarítmicos en horizontes temporales largos para muchos activos tiende a ser menos divergente de una normal que la distribución de los rendimientos logarítmicos a nivel diario, y la proximidad mejora a medida que aumenta el horizonte (es decir, la frecuencia de los rendimientos disminuye). De hecho, se pueden considerar los rendimientos logarítmicos de baja frecuencia como la suma de los rendimientos logarítmicos de mayor frecuencia, que es lo bonito de los rendimientos logarítmicos. Pero cuando se fijan los precios de las opciones en el mundo real, no se pueden hacer regalos al mercado, por lo que no se puede tomar una distribución asintótica para los rendimientos de baja frecuencia a largo plazo como

• la opción tendrá un determinado vencimiento discreto
• en la mayoría de los casos el vencimiento tampoco es tan a largo plazo (será cuestión de días y no de decenas de años)

Por lo tanto, la suposición de rendimientos logarítmicos normales es sólo una suposición teórica, que no debe utilizarse en el mundo real para diversas aplicaciones. Y, por supuesto, es una clara simplificación de la dinámica empírica del mundo real de los precios de los activos. Recuerde que la teoría necesita hacer suposiciones, de lo contrario los problemas se volverían pronto intratables.

Se desconoce la "verdadera" distribución de probabilidad de los rendimientos a una determinada frecuencia. Lo que podemos hacer es estudiar la evidencia empírica e intentar aproximarla con técnicas no paramétricas. Y cuando se hace eso, se ve que en la gran mayoría de los casos, la hipótesis de normalidad tiende a ser rechazada, debido tanto a la asimetría como al exceso de kurtosis esta última puede en parte mitigarse cuando se ajusta algún GARCH, por lo que la hipótesis de innovaciones condicionales normales en los modelos GARCH puede ser empíricamente menos errónea que la hipótesis de distribución normal de los retornos logarítmicos. Pero en la mayoría de los casos también esta última hipótesis es sólo una aproximación a un fenómeno complejo del mundo real.

Answer 2

En cuanto a tu segunda pregunta, tal vez debas considerar también la versión general del CLT sin supuestos de segundo y mayor momento. En esas circunstancias, la distribución límite puede ser no normal. Serán de tipo estable alfa, lo que tiene profundas conexiones con tus preguntas sobre las colas gordas y demás.