Calcular el local de la volatilidad de la opción de precios?

Question

Estoy tratando de calcular local volatilidad dado un conjunto de opción de los precios utilizando $$ \sigma(T,K)=\sqrt{2\frac{\frac{\partial C}{\partial T}+rK\frac{\partial C}{\partial K}}{K^2\frac{\partial^2C}{\partial K^2}}}.$$

Digamos que se me presenta la siguiente llamada de las huelgas y los vencimientos y los precios:

 Strike    1 Month    2 Month
 10        0.50       0.75
 11        0.35       0.50
 12        0.25       0.35 

Digamos que tratamos de calcalate el 1 mes 11 huelga local volatilidad con una tasa libre de riesgo de $r=0.01$.

Se puede estimar theta, $\frac{\partial C}{\partial T}$, como 0.35/30(días) = 0.01.

A continuación, tenemos $\frac{\partial C}{\partial K}$ como la diferencia entre el 10 y el 11 de huelga: $\frac{0.50-0.35}{1} = 0.15$.

A continuación, vamos a calcular $\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}$ como la diferencia entre el 12-11 convocatoria y a las 11 a 10 de la llamada que se calcula la tasa de variación de la llamada precio por la huelga de manera efectiva: (0.50-0.35)-(0.35-0.25) = 0.05.

A continuación, conectamos de la siguiente manera para el numerador: $2\cdot(0.01+0.01\cdot11\cdot0.15) = 0.053$. Entonces, para el denominador, tenemos: $11^2\cdot0.05= 6.05$.

Entonces, si dividimos y tomar la raíz cuadrada: obtenemos $0.0935$, por lo que una volatilidad de $9.35\%$.

Estoy en el camino correcto aquí? La mayoría de las veces se mira local de la volatilidad de una gran parte de ella está por encima de mi habilidad en matemáticas, pero quiero entender si estoy al menos en la pista de la derecha?

Answer 1

Un problema que veo: $$2\cdot0.01+0.01\cdot11\cdot0.15 = 0.0365$$ debe ser reemplazado por

$$2\cdot \left(0.01+0.01\cdot11\cdot0.15\derecho) = 0.053$$

Edit: (detalles de mis comentarios un poco) Dupire de la ecuación, como usted lo escribió, es correcto (se supone que los dividendos son nulos):

$$ \frac{\partial C}{\partial T} = \frac{1}{2}\sigma^2 K^2\frac{\partial^2 C}{\partial K^2} -r K \frac{\partial C}{\partial K}, $$

donde $\sigma = \sigma(S_t, t)$, es decir, depende de subyacente y el tiempo, con la que subyace tras el local de la volatilidad dinámica (aka generalizado de Black-Scholes dinámica):

$$ dS_t = rS_t dt +\sigma S_t ps.$$

Una prueba puede ser encontrado aquí.

Usted puede pensar en él como un 'doble' compañero de Black-Scholes ecuación (normalmente usa $t$, no $T$, tiempo a vencimiento, como variable):

$$ -\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} +r S \frac{\partial C}{\partial S} - rC.$$

Tenga en cuenta que, si asumimos $r=0$, tenemos:

$$ -\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}.$$

Edit 2: Usted es el cálculo de una instantánea de la cantidad de datos en bruto utilizando aproximada de las diferencias finitas derivados aproximaciones. Por lo general, uno se llena en el espacio continuo de llamadas parametrizada por la huelga y el tiempo para el vencimiento, $C(K,T)$, utilizando suave interpolaciones (más precisamente, "de relleno" es la primera que se realiza en el BS-implícita volatilty espacio), luego se pone la primera y segunda derivados de la necesaria y el local de la volatilidad de los $\sigma(K,T)$.