Valoración de la opción sobre el swap IR amortizado

Question

Actualmente estoy valorando las swaptions utilizando una superficie de volatilidad implícita y la fórmula de Black. Esta fórmula viene dada por

$$A (S\Phi(d_+) - K \Phi(d_-))$$

donde $$ d_{\pm} = \frac{\log\left(S/K\right) \pm \frac{1}{2}\sigma_{\text{impl}}^2 T_{\text{exc}}}{\sigma_{\text{impl}} \sqrt{T_{\text{exc}}}}\\ A = N\sum_{i}\alpha_i P(0, T_i)\\ S = \frac{P(0, T_{\text{exc}}) - P(0, T_{\text{final}})}{\sum_{i}\alpha_i P(0, T_i)}$$

Los diferentes símbolos representan:

• $A$ = anualidad
• $N$ = nocional
• $T_{\text{start}}$ = fecha de ejercicio de la swaption
• $T_{\text{final}}$ = fecha de pago final del swap subyacente
• $S$ = tipo de cambio del swap subyacente
• $K$ = tipo de interés de ejercicio / devengo del tramo fijo del swap subyacente
• $\alpha_i$ = longitud de acumulación de cada tramo
• $P(0, T)$ = factor de descuento.

Por último, la volatilidad $\sigma_{\text{impl}}$ es proporcionada por los datos de mercado de los precios de los swaptions. Para ello utilizo una técnica de interpolación. Esta técnica de interpolación utiliza la fecha de ejercicio del swaption y el tenor del swap subyacente (tenor = tiempo entre el primer y el último pago). Para simplificar, sólo considero la volatilidad de los cajeros automáticos (que sigue siendo diferente para los swaptions con diferentes vencimientos / tenores).

Quiero utilizar esta fórmula (o algo similar) para valorar opciones sobre swaps con perfil amortizable. En un swap amortizable el nocional disminuye con el tiempo (es decir, para cada tramo tenemos un nocional diferente). Se puede definir un tipo de swap mediante

$$ S^{\text{amort}} = \frac{\sum_i N_i \alpha_i P(0, T_i)F(0, T_{i-1}, T_i)}{\sum_i \alpha_i N_i P(0, T_i)}$$ y de forma similar para la anualidad. Aquí $F$ son los tipos a plazo.

Pero ahora el problema es que no hay superficie de volatilidad para las swaptions sobre swaps amortizables. Entonces, ¿qué volatilidad implícita debo utilizar? Lo ideal sería extraer la volatilidad de la superficie de volatilidad implícita que ya tengo (basada en swaptions no amortizables).

Answer 1

He operado con swaptions durante muchos años. La respuesta es que no es posible calcular exactamente la volatilidad implícita de una opción europea sobre un swap amortizable a partir de la matriz de volatilidades de swaptions no amortizables. Esto se debe a que, además de la estructura de volatilidad, existe una dependencia de la estructura de correlación. Dependiendo de la naturaleza de la amortización, el efecto de la correlación puede ser grande o pequeño. Por ejemplo, una opción de 1 año sobre un swap cuyo nocional se amortiza en un 50% al cabo de 3 años y en un 50% al cabo de 4 años, se aproximará mucho tomando la media de las volatilidades de las swaptions europeas de 1 año a 3 años y de 1 año a 4 años. Sin embargo, una opción a 5 años sobre un swap que se amortiza un 5% cada año desde el año 6 al 26, deberá tener en cuenta la superficie de correlación. Este efecto de correlación debería reducir la volatilidad implícita del tipo de swap que se amortiza, en relación con el cálculo ingenuo, ya que es similar a una opción sobre una cesta. Para cuantificar esto sería necesario estudiar la estructura de correlación intracurva.