Cómo se derivan de la dinámica de la sesión precio a futuro?

Question

Tengo el siguiente modelo de Schwartz: $$dS_t=a(\mu\ln S_t)S_tdt+\sigma S_tdW_t$$ $$X_t=\ln S_t$$ $$dX_t=a(\hat{\mu}-X_t)dt+\sigma dW_t$$ con $\hat{\mu}=\mu-\frac{\sigma^2}{2a}\sigma$ $$F_t(T)= \exp\left(e^{-a(T-t)}X_t+\hat{\mu}(1-e^{-a(T-t)})+\frac{\sigma^2}{4}(1-e^{-2a(T-t)})\right)$$ y quiero obtener el valor de $d \ln F(t,T)$

Hago lo siguiente:

Vamos a $Y_t=\ln F(t,T)$

Entonces $dY=\frac{dF}{F}-\frac{1}{2}\frac{<dF,dF>}{F^2}$

Tenemos $\frac{dF}{F}=e^{-a(T-t)} dX_t=e^{-a(T-t)}\left(un(\hat{\mu}-\ln S_t)dt+\sigma dW_t\right)$

y $\frac{<dF,dF>}{F^2}= e^{-2a(T-t)}\sigma^2dt$

De modo que $d\ln F(t,T)=e^{-a(T-t)}\left(un(\hat{\mu}-\ln S_t)dt+\sigma dW_t\derecho)-\frac{1}{2}e^{-2a(T-t)}\sigma^2dt$

Sin embargo, creo que esto está mal como la respuesta dada en la corrección es: $$ d\ln F(t,T) = e^{-a(T-t)}\sigma dW_t-\frac{1}{2}e^{-2a(T-t)}\sigma^2dt$$

Esto significa que es probable que haya un error en mi $\frac{dF}{F}$, me puedes ayudar?

Answer 1

Puede haber un mal uso de sus anotaciones. Es mejor definir otros $g=g(t,x;T)$, donde $t$ y $x$ son incógnitas de $g$, mientras que $T$ es algunos auxiliar de parámetros, tales que $F_t(T)=g(t,X_t;T)$. La notación $F_t(T)$ parece un poco confuso, porque se puede ignorar el hecho de que también es una función de $t$.

Por lo tanto, definir $$ g(t,x;T)=\exp\left(e^{-a\left(T-t\right)}x+\hat{\mu}\left(1-e^{-a\left(T-t\right)}\right)+\frac{\sigma^2}{4a}\left(1-e^{-2a\left(T-t\right)}\right)\right), $$ y es obvio que $$ F_t(T)=g(t,X_t;T). $$

Ahora, tenga en cuenta que $$ Y_t=\log F_t(T)=\log\left(g(t,X_t;T)\right)=\left(\log\circ g\derecho)(t,X_t;T), $$ donde el compuesto de la función $\log\circ g$ depende tanto de $t$ y $x$. Así Que la fórmula debe ser $$ {\rm d}Y_t=\frac{\partial\left(\log\circ g\derecho)}{\partial t}(t,X_t;T){\rm d}t+\frac{\partial\left(\log\circ g\derecho)}{\partial x}(t,X_t;T){\rm d}X_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2\left(\log\circ g\derecho)}{\partial x^2}(t,X_t;T){\rm d}\left<X\right>_t. $$ Parece que le han dejado fuera de la $$ \frac{\partial\left(\log\circ g\derecho)}{\partial t}(t,X_t;T){\rm d}t $$ plazo.

Por cierto, me pregunto por qué se decidió tratar con $F_t(T)$ directamente. Tenga en cuenta que $$ \log F_t(T)=e^{-a\left(T-t\right)}X_t+\hat{\mu}\left(1-e^{-a\left(T-t\right)}\right)+\frac{\sigma^2}{4a}\left(1-e^{-2a\left(T-t\right)}\right). $$ Si usted elige para definir $$ Z_t=\log F_t(T)=e^{-a\left(T-t\right)}X_t+\hat{\mu}\left(1-e^{-a\left(T-t\right)}\right)+\frac{\sigma^2}{4a}\left(1-e^{-2a\left(T-t\right)}\right), $$ entonces $$ {\rm d}\log F_t(T)={\rm d}Z_t={\rm d}\left(e^{-a\left(T-t\right)}X_t+\hat{\mu}\left(1-e^{-a\left(T-t\right)}\right)+\frac{\sigma^2}{4a}\left(1-e^{-2a\left(T-t\right)}\right)\right), $$ que es mucho más fácil de tratar.