La dualidad de callable bond precio

Question

Estoy tratando de entender la relación entre los dos métodos de fijación de precios de bonos redimibles en la neutrales al riesgo de precios de marco.

Declaración del problema

Vamos a considerar bono cupón cero a un valor nominal 1, con vencimiento en 1 año y exigible a los 6 meses con la huelga de $K =0.4$. Voy a trabajar en el Ho-Lee modelo en el que el tipo de cambio spot de la siguiente manera generalizada el movimiento Browniano $$ dr(t) = \theta(t) dt + \sigma d\hat{w}(t). $$ Para los fines de la obtención de un resultado numérico, voy a suponer que $\sigma = 0.16$ y $r(0) = 0.3$ y elija el ajuste de la función $\theta(t) = 0$ (valores irreales en la práctica).

Puedo mostrar numéricamente que el precio obtenido de la diferencia finita de método (Método 2) converge a la analítica de precios (Método 1). Me gustaría obtener el resultado analítico directamente de la PDE en el Método 2.

Método 1

El cero-cupón de descuento de la curva está dada por $ P(t,T) = e^{-r(t) (T-t) + \frac{\sigma^2}{6}(T-t)^3} $. La aplicación de Ito lema obtenemos $$ dP(t,T) = P(t,T) r(t) dt - P(t,T)(T-t)\sigma d\hat{w}(t). $$ De ello se desprende que una opción call Europea con vencimiento $T_i$ en el ZCB con la madurez $T_j>T_i$ precio utilizando el Negro de la fórmula de fijación de precios utilizando un tiempo de depedent volatilidad, \begin{align} \mathbf{CZCB}(t,T_i,T_j,K) & = P(t,T_i)\mathbb{E}^{Q_i}_t\left[\max(G(T_i)-K,0)\right] \\ & = P(t,T_i)\left[G(t)N(y+\bar{\sigma}\sqrt{T_i-t}) KN(y)\right] \end{align} donde \begin{ecuación} G(t) = \frac{P(t,T_j)}{P(t,T_i)}, \quad \quad y = \frac{\log\left(\frac{G(0)}{K}\derecho)-\frac{1}{2}\bar{\sigma}^2(T_i-t)}{\bar{\sigma}\sqrt{T_i-t}}, \quad \quad \bar{\sigma} =\sigma(T_j-T_i). \end{ecuación} El pensamiento de la callable bond como una escalera de soga menos la opción de llamada obtenemos \begin{ecuación} P(0,T_e)-\mathbf{CZCB}(0,T_c,T_e,K) = \$ \, 0.344467, \end{ecuación} donde he puesto $T_e = 1$, $T_c = 0.5$, y $K = 0.4$

Método 2

El pensamiento de la callable bond como un lugar de la tasa de contingente reclamación vemos que el precio de los bonos satisface el PDE, \begin{ecuación} \frac{\partial g}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 g}{\partial r^2} - rg(r,t) = 0. \end{ecuación} En una forma totalmente explícita de discretización con $t_n = n \Delta t$ ($0 \leq n \leq$ N) tenemos \begin{ecuación} g_n^j = h_n^j , \quad \quad h_n^j = \frac{1}{1+r_j\Delta t} \bigl[p g_{n+1}^{j+1}+(1-2p) g_{n+1}^{j} + p g_{n+1}^{j-1}\bigr], \quad \quad p = \frac{\sigma^2\Delta t}{2\Delta del r^2}. \end{ecuación} con las siguientes condiciones de frontera en el $t$-dirección (suponiendo que $N$ es aún) \begin{align} g^j_N & = 1 \\ g^j_{N/2+1} & = \max(K,h^j_{N/2+1}) \end{align} donde la segunda condición cuentas de la posibilidad de ejercer los 6 meses.

Answer 1

La transformación en Calor de la PDE

En primer lugar, defina $T_1$ a la fecha de llamadas y $T_2$ a la fecha de vencimiento. Empezamos por hacer un cambio de variables. Vamos

\begin{ecuación} \tau = T_1 - t, \quad x = r - \frac{1}{2} \sigma^2 \tau^2, \quad g(t, r) = \exp \left\{ -i \tau + \frac{1}{6} \sigma^2 \tau^3 \derecho\} h(\tau, x). \end{ecuación}

Entonces

\begin{eqnarray} \frac{\partial g}{\partial t} & = & \exp \left\{ -i \tau + \frac{1}{6} \sigma^2 \tau^3 \right\} \left( \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \tau^2 \derecho) h(\tau, r) - \frac{\partial h}{\parcial \tau} + \sigma^2 \tau \frac{\partial h}{\partial x} \derecho)\\ \frac{\partial g}{\partial r} & = & \exp \left\{ -i \tau + \frac{1}{6} \sigma^2 \tau^3 \right\} \left( -\tau h(\tau, r) + \frac{\partial h}{\partial x} \derecho)\\ \frac{\partial^2 g}{\partial r^2} & = & \exp \left\{ -i \tau + \frac{1}{6} \sigma^2 \tau^3 \right\} \left( \tau^2 h(\tau, x) - 2 \tau \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} \right) \end{eqnarray}

y llegamos

\begin{ecuación} \frac{\partial h}{\parcial \tau} = \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} \end{ecuación}

sujeto a la condición inicial

\begin{eqnarray} h(0, x) & = & \min \left\{ K, P \left( T_1, T_2; x \right) \derecho\}\\ & = & P \left( T_1, T_2; x \right) - \max \left\{ P \left( T_1, T_2; x \right) - K, 0 \derecho\} \end{eqnarray}

donde $P(t, T; r)$ se define como en la pregunta.

Los Verdes De La Función Solución

La solución fundamental es el calor del núcleo dada por

\begin{ecuación} \phi(\tau, x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 \tau}} \exp \left\{ -\frac{x^2}{2 \sigma^2 \tau} \right\}. \end{ecuación}

Obtenemos $h(\tau, x)$ a través de la convolución

\begin{eqnarray} h(\tau, x) & = & \int_{-\infty}^\infty h(0, y) \phi(\tau, x - y) \mathrm{d}y\\ & = & \underbrace{\int_{-\infty}^\infty \exp \left\{ -i \left( T_2 - T_1 \derecho) + \frac{1}{6} \sigma^2 \left( T_2 - T_1 \derecho)^3 \right\} \phi(\tau, x - y) \mathrm{d}y}_{h_1(\tau, x)}\\ & & - \underbrace{\int_{-\infty}^\infty \left( \exp \left\{ -i \left( T_2 - T_1 \derecho) + \frac{1}{6} \sigma^2 \left( T_2 - T_1 \derecho)^3 \derecho\} - K \derecho)^+ \phi(\tau, x - y) \mathrm{d}y}_{h_2(\tau, x)}. \end{eqnarray}

Algunos tediosos cálculos muestran que para algunos $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,

\begin{ecuación} \int_{-\infty}^\alpha e^{\beta y} \phi(\tau, x - y) \mathrm{d}y = \exp \left\{\beta x + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \tau \right\} \mathcal{N} \left( \frac{\alpha - x - \beta \sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \derecho). \end{ecuación}

Solución de $h_1(\tau, x)$

Por lo tanto, con $\alpha = \infty$ y $\beta = \left( T_2 - T_1 \right)$, la primera integral se evalúa a

\begin{eqnarray} h_1(\tau, x) & = & \exp \left\ {x \left( T_2 - T_1 \derecho) + \frac{1}{2} \sigma^2 \left( T_2 - T_1 \derecho)^2 \tau + \frac{1}{6} \sigma^2 \left( T_2 - T_1 \derecho)^3 \derecho\} \end{eqnarray}

Revertir el cambio de las variables de los rendimientos

\begin{eqnarray} g_1(t, r) & = & \exp \left\{ -i \left( T_2 - t \derecho) + \frac{1}{6} \sigma^2 \left( T_2 - t \right)^3 \right\}\\ & = & P \left( t, T_2; r \derecho) \end{eqnarray}

Este es, como se esperaba, justo el tiempo $t$ precio de un bono cupón cero con vencimiento en $T_2$. Sin embargo, explícitamente de la computación servidores como una buena comprobar si algo salió mal en el camino.

Solución de $h_2(\tau, x)$

El integrando en $h_2(\tau, x)$ es positivo cuando

\begin{ecuación} y < \frac{-\ln (K) + \frac{1}{6} \sigma^2 \left( T_2 - T_1 \derecho)^3}{T_2 - T_1} =: \alpha \end{ecuación}

Por lo tanto, la integral se evalúa a

\begin{eqnarray} h_2(\tau, x) & = & h_1(\tau, x) \mathcal{N} \left( \frac{\alpha - x + \sigma^2 \left( T_2 - T_1 \derecho) \tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \derecho) - K \mathcal{N} \left( \frac{\alpha - x}{\sigma \sqrt{\tau}} \right). \end{eqnarray}

Revertir el cambio de variables y después de un montón de tedioso álgebra, encontrar

\begin{eqnarray} g_2(t, r) & = & P \left( t, T_2; r \derecho) \mathcal{N} \left( d+ \derecho) - P \left( t, T_1; r \derecho) K \mathcal{N} \left( d_- \derecho), \end{eqnarray}

donde

\begin{ecuación} d_\pm = \frac{1}{\sigma \left( T_2 - T_1 \derecho) \sqrt{\tau}} \left( \ln \left( \frac{P \left( t, T_2; r \derecho)}{P \left( t, T_1; r \derecho) K} \derecho) \pm \frac{1}{2} \sigma^2 \left( T_2 - T_1 \derecho)^2 \tau \derecho). \end{ecuación}

Poner todo junto, se puede obtener la misma expresión como la que usted proporcionó en la pregunta.

Answer 2

Puede que se trate de conectar su solución analítica obtenida con el Método 1 en el PDE y demostrar que cumple con los inhibidores de la PDE con condiciones de frontera ?