Integración de la derivada total estocástica

Question

Una pregunta súper básica. Creo que estoy haciendo esto correctamente, pero sólo quiero una comprobación de cordura.

Digamos que tengo un proceso estocástico $r(t)$ .

Digamos que tengo una ecuación

$$d(e^{\beta (t-s)}r(s))=\dots$$

donde el $e^{\beta (t-s)}$ es determinista y $t\geq s > 0$ .

Entonces digamos que queremos integrar ambos lados de $s$ a $t$

$$\int_s^t{d(e^{\beta (t-u)}r(u))}=\dots$$

entonces tenemos

$$e^{\beta (t-t)}r(t)-e^{\beta (t-s)}r(s)=\dots$$

$$r(t)-e^{\beta (t-s)}r(s)=\dots$$

Por favor, aclárenme si me equivoco. Gracias.

Answer 1

Creo que hay una errata en tu primera ecuación. La variable de funcionamiento debería ser $s$ como en $d\left( e^{\beta(t-s)} r(s) \right)$ .

Empecemos por su integral. Dejemos que $R_u = e^{-\beta u} r_u$ . Su integral se convierte en $$ e^{\beta t} \int_s^t d R_u \, . $$ Recordemos que $dR_u = R_{u+du} - R_u$ . La integral se evalúa como $e^{\beta t}(R_t -R_s)$ que se simplifica en $r_t - e^{\beta(t-s)} r_s$ que es lo que tienes.