Solución analítica para una ecuación de Black-Scholes modificada

Question

Recientemente, se ha propuesto una ecuación de Black-Scholes modificada ( Zheng ), a saber

Por favor, considere el caso cuando

$$\sigma \left( S,t \right) =\sigma\,{S}^{k/2}$$

y con la opción de venta europea

Usando Maple estoy obteniendo la siguiente solución analítica en términos de los polinomios de Laguerre asociados

Esta solución puede utilizarse con Maple para calcular el precio de muchos casos de la opción de venta europea. Por ejemplo, cuando $k=3$ la solución es (por favor, haga clic con el botón derecho del ratón en la imagen para ampliarla)

y tomando los tres primeros términos de la serie tenemos (por favor, haga clic con el botón derecho del ratón en la imagen para ampliarla)

Un ejemplo numérico. Considere los siguientes valores para los parámetros $$S=100,K=95,T=90/365,r=4/100, \sigma=0.5;$$

utilizando la fórmula estándar de Black-Scholes, el precio de la opción de venta es $6.9082$ y utilizando mi fórmula con $300$ términos de la serie, el precio de la opción de venta es $70.51873101$ . Suponiendo que la fórmula estándar de Black-Scholes subestima el precio de la opción de venta y mi fórmula sobreestima el precio de la opción de venta, es posible fijar el precio de la opción de venta cerca de la media simple entre los dos resultados, a saber $38.5$ .

Mis preguntas son:

1. Afirmo que dicha solución es nueva. ¿Está usted de acuerdo?

2. Afirmo que dicha solución podría tener importantes aplicaciones en las finanzas computacionales. ¿Está usted de acuerdo?

Answer 1

El término de arte en nuestra industria para este tipo de fórmula de valoración de opciones es un solución en serie . Como indica Farahvartish en los comentarios, una solución en serie no se considera una "solución analítica" debido a la dependencia de una suma infinita convergente para la salida numérica real.(*)

Las soluciones en serie se han empleado al menos desde la década de 1990, cuando se utilizaron junto con el principio de reflexión para estimar los precios de las opciones con características knock-out.

Más específico para su caso, este documento también da una solución en serie para los precios de las opciones con volatilidad dependiente del nivel de los activos. Es más general que su fórmula anterior, aunque utiliza polinomios de Hermite en lugar de Laguerre. En ella, Xiu permite $\sigma(S)$ para ser cualquier función cuyo recíproco es integrable en Lebesgue.

(Nota: No he comprobado que su resultado o el documento de Xiu sean correctos)

(*) Podría añadir que la actitud sobre las soluciones en serie frente a las soluciones analíticas es lógicamente inconsistente en la práctica, ya que la función de distribución acumulativa $N(\cdot)$ de la gaussiana estándar se obtiene numéricamente a partir de una expansión en serie en polinomios de Legendre.