La función de utilidad von Neumann-Morgenstern (vNM) tiene la forma \begin{equation} U(p,x)=\sum_{i=1}^np_iu(x_i) \end{equation> donde $x=(x_1,\dots,x_n)$ con $x_i$ siendo la recompensa (monetaria) asociada con el resultado $i$ y $p=(p_1,\dots,p_n)$ con $p_i$ siendo la probabilidad de que ocurra $i.
En economía conductual, las generalizaciones de la utilidad vNM usualmente ocurren en uno (o ambos) de los siguientes canales:
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Ponderación de probabilidad no lineal: en lugar de usar $p_i$, que se pueden considerar probabilidades objetivas, un modelo puede usar pesos de decisión $w_i$ que mapean la distribución de probabilidad objetiva en una nueva distribución.
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Función de utilidad dependiente de referencia: en lugar de $u(x_i)$, que depende solo de la recompensa en el resultado $i$, un modelo puede considerar una función de utilidad $u(x_i,r)$ que depende tanto de $x_i$ como de una recompensa de referencia $r.
Las modificaciones realizadas a través de cualquiera de estos canales darán lugar a una función de utilidad no esperada, que se supone que mejora la precisión descriptiva del modelo de decisiones de las personas bajo riesgo.
Ejemplo de 1: Utilidad Dependiente del Rango
Supongamos que $x_1 w_i=\pi\left(\sum_{j=i}^np_j\right)-\pi\left(\sum_{j=i+1}^np_j\right), \end{equation> donde $\pi(\cdot)$ se llama función de ponderación de probabilidad (PWF).
Una PWF común es la PWF de Tversky-Kahneman: \begin{equation> \pi(t)=\frac{s^\gamma}{(s^\gamma+(1-s)^\gamma)^{1/\gamma}}. Luego, la utilidad dependiente del rango con PWF de T-K es \begin{equation> RDU(p,x;\gamma)=\sum_{i=1}^nw_iu(x_i). \end{equation> Tenga en cuenta que $w_i=p_i$ si $\gamma=1$, de modo que la UE vNM es un caso especial de RDU.
Ejemplo de 2: Aversión a la Decepción
\begin{equation> DAU(p,x;\overline U)=\sum_{i=1}^np_i[u(x_i)-D(u(x_i)-\overline U)], \end{equation> donde $D(\cdot)$ es una función que captura cómo la decepción ($u(x_i)<\overline U$) o la euforia ($u(x_i)>\overline U$) afecta la evaluación de un individuo de una perspectiva. Aquí, el nivel de utilidad de referencia $\overline U$ puede ser algo como el nivel equivalente de certeza de la utilidad. La UE también se puede derivar como un caso especial de DAU al exigir que $D(\cdot)$ sea una función constante.
Ejemplo de 1+2: Teoría de las Perspectivas
La teoría de las perspectivas (PT) incorpora tanto la ponderación de probabilidad no lineal como la dependencia de referencia. Nuevamente, asuma $x_1<\cdotsr$) y pérdidas ($x_i w_i=\pi^+(p_i+\cdots+p_n)-\pi^+(p_{i+1}+\cdots+p_n), mientras que para las pérdidas, los pesos de decisión son \begin{equation> w_i=\pi^-(p_i+\cdots+p_n)-\pi^-(p_{i+1}+\cdots+p_n), donde $\pi^+(\cdot)$ y $\pi^-(\cdot)$ son ambas PWFs. Por ejemplo, se pueden tener ambas PWF como la forma de Tversky-Kahneman, pero con diferentes parámetros. Además, la función de utilidad también toma una forma dependiente de referencia: \begin{equation> u(x_i,r)= \begin{cases> (x_i-r)^\alpha &\text{si }x_i\ge r\\ -\lambda(r-x_i)^\beta &\text{si }x_i donde $\alpha,\beta\in(0,1)$ son parámetros de aversión al riesgo (diferenciados entre ganancias y pérdidas) y $\lambda>0$ es el coeficiente de aversión a las pérdidas. Así, la función de utilidad no esperada bajo PT es \begin{equation> V(p,x;\text{parámetros})=\sum_{i=1}^nw_iu(x_i,r)
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En realidad, von Neumann y Morgenstern solo consideraron preferencias sobre loterías con "probabilidades" objetivas conocidas. Por lo tanto, incluso la teoría subjetiva de la utilidad esperada está fuera del dominio de la teoría de utilidad esperada de vNM.