¿Por qué es de $S(t) = e^{\alpha + \beta t + \sigma W(t)}$ se utiliza como modelo para los precios?

Question

¿Por qué es el Movimiento Browniano Geométrico definido como $S(t) = e^{\alpha + \beta t + \sigma W(t)}$ se utiliza como modelo para los precios de las acciones? $S(t)$ tiene una distribución lognormal que está sesgada a la derecha. Otro problema es que mientras esto no puede ser negativo, también puede cambiar la tendencia siempre va hasta el infinito o hacia abajo a cero. Incluso un simple paseo aleatorio generará una trama más similar (al ojo humano) de un precio actual de la acción gráfica.

Answer 1

No tenemos el modelo de los precios, el modelo de la devuelve.

Los precios de las acciones no están explícitamente modelado como la log-normal, sino que esta es una consecuencia del actual modelo utilizado para describir la devuelve. El núcleo del modelo utilizado en el modelo Black-Scholes es asumir un movimiento Browniano geométrico para el cambio en el precio de $S_t$ donde más de algún pequeño incremento de tiempo $\mathrm{d}t$ los retornos son modeladas como \begin{ecuación} \frac{\mathrm{d}S}{S} = \mu \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t \end{ecuación} La idea clave aquí es que nosotros no asumimos ninguna historia o la memoria en los mercados en los que no se contabilizan en el precio actual (y, por tanto, las formas de un proceso de Markov). Suponiendo que esto es un movimiento Browniano geométrico es sólo un buen matemático supuesto de que al líder de la orden no es tan malo. La mayoría de las veces funciona bien, pero no es muy grande cuando se trata de captar una buena descripción de los más extremos de comportamiento, como se infravalora las colas cuando se compara con los datos de mercado.

El sesgo y la positividad no son un problema

El hecho de que el precio de proceso es estrictamente positivo y nunca alcanza a cero es en realidad una cosa deseable al describir acciones, ya que esto es muy físico. El hecho es que existe una asimetría positiva es sólo una consecuencia de esto, y esto no es realmente un problema, especialmente si esto coincide con los datos de mercado.

Asimismo, el proceso es siempre finito, y no se dispara hasta el infinito, que a su vez es deseable.

Creo que tienen algún tipo de confusión aquí. Descontando el proceso (también conocido como la corrección de la inflación), a continuación, el proceso es impulsado por el proceso de Wiener $W_t$, que es finito y una Martingala proceso, y igual de probable que vaya para arriba como es abajo (cf. el principio de reflejo). Creo que si haces un poco de lectura en torno a Browniano movimientos verá esto.

No juzgues a los modelos por los ojos!

Incluso un simple paseo aleatorio generará una trama más similar (al ojo humano) de un precio actual de la acción gráfica

Estoy totalmente en desacuerdo con esto, que se basa principalmente en el hecho de que un modelo cuantitativo nunca debe evaluarse o con datos por los ojos. Si desea científicamente evaluar dos modelos que quiere comparar la calidad de sus predicciones, tales como:

• Cómo hacer los procesos de coincidir en un sentido estadístico? ¿Tienen la misma media, varianza, sesgo, curtosis, etc.?
• Si yo uso mi modelo de precio de opciones sobre el proceso, que tan bien los precios coinciden con los observados en el mercado. (Cuidado, la mayoría de los modelos no realmente utilizan para la fijación de precios, sino más bien para la cobertura).
• ¿Cuáles son los casos de esquina de mis modelos? Son ellos significa la reversión, pueden predecir los valores negativos, ¿deben reflejar los límites, etc.? Algunos de estos son matemáticamente conveniente, y demás físicamente o económicamente deseable.
• Es mi modelo causal, adaptado, papelería, invertible, etc. (Estos cultivos con varios discreta modelos de serie de tiempo).

Para evaluar el modelo estadísticamente un muy buen punto de partida es inspeccionar los residuos, y si estos se ven como ruido blanco. Si es así, es un buen comienzo, y si no, entonces probablemente hay margen para mejorar el modelo. Este tipo de modelo de las evaluaciones son imposibles de hacer por los ojos. Un trivial modelo que se ve en gran parte por ojo es de $S_{t+1} = S_t$, y es probable que sea imperceptible por el ojo de una un poco más sofisticado $\text{ARMA}(p,q)$ modelo, pero el primero es bastante inútil para la mayoría de las cosas, mientras que el segundo no lo es.

Si desea un modelo para adaptar, usar un modelo más sofisticado

El movimiento Browniano geométrico modelo para el precio de proceso es muy simplista. La razón de esto es porque es el modelo más simple que fue el primer pensamiento que produjo algunas muy interesante la información financiera. Es permitido para la cobertura, y la fijación de precios de derivados y todo tipo de opciones. Sin embargo, es muy simple y no se adapta. Algunos otros modelos con diferentes grados de adaptación del comportamiento pueden incluir:

• Una de Ornstein-Uhlenbeck (OU) el modelo es la media de la reversión, y popular para las tasas de interés.
• La Cox-Ingersol-Ross (CIR) el modelo es de nuevo la media de la reversión, pero tiene una variable de volatilidad (que tal vez podría llamar a esto como el cambio de la tendencia). También puede tener diferentes comportamientos en el límite basado en el Talador de condición.
• El modelo de Heston modelos de la volatilidad del proceso.
• El SABR modelo puede incluso predecir tasas negativas de interés (muchos pensaron que no podía suceder, pero en los últimos años se ha producido varias veces).

He llamado a sólo un par de modelos de aquí, pero no hay un equilibrio entre la forma "realista" de un modelo, y su analítica de tratabilidad. Vamos a menudo a favor de algo más sencillo y porque podemos hacer cosas útiles con un modelo sencillo. De nada sirve tener un complicado modelo que no puede ser simulado ni ser utilizado para hacer predicciones.

Answer 2

1) se supone que los Precios se lognormal y sesgada para dar cabida a la observación de que, en circunstancias normales, los rendimientos son normales (que no son, pero es el modelo más simple que podemos fit). Es por eso que el "geométrica" de la parte

2) los precios de las Acciones, por definición, sólo puede ir hacia abajo hasta cero(en caso de quiebra) por lo que no necesita un modelo que puede dar cabida a valores negativos.

3) ¿por Qué no Cambiar la tendencia? La W(t) es aleatorio y puede tomar valores negativos y la volatilidad de los múltiples va a conducir en esa dirección

4) el movimiento Browniano es sinónimo de paseo aleatorio en tiempo continuo, mientras que la caminata aleatoria es discreta.