Looback Opción Put - hallar el número de rutas que llegan a cada nivel

Question

En un período de 4 modelo binomial, tengo un look back opción de venta que paga $\left [M_{4}-4 \derecho) ^ { + }$, donde $M_{4}$ es el precio máximo alcanzado durante la secuencia de 4 ensayos.

Digamos que el precio inicial = 4, el número de ensayos = 4. El factor 2 y abajo factor de 1/2.

Mi idea para encontrar el valor esperado de la opción fue, primero, encontrar el número de caminos que sólo se alcanza (y no exceder) cada nivel, así:

1. Nivel 1 o un precio de $M_{4}=8$, yo tendría $ n \cdot \left [ 8-4 \derecho ]$ rentabilidades para este nivel.
2. El nivel 2 o de un precio de $M_{4}=16$, yo tendría $ o \cdot \left [ 16-4 \derecho ]$ rentabilidades para este nivel.
3. Nivel 3 o un precio de $M_{4}=32$, yo tendría $ p \cdot \left [ 32-4 \derecho ]$ rentabilidades para este nivel.
4. Nivel 4 o un precio de $M_{4}=64$, yo tendría $ 1 \cdot \left [ 64-4 \derecho ]$ rentabilidades para este nivel.

Aquí está el problema

Tomemos, por ejemplo, el Nivel 1:

1. P(equivalentes de nivel 1 en T=4) = 0, no hay caminos que terminan en 1 después de 4 pruebas.
2. P(alcanzando el nivel 1, pero que terminan en o por debajo del nivel 1) = $\frac{4!}{(4-3)!3!} + \frac{4!}{(4-4)!4!}=5$

Sin embargo, uno de los 5 caminos supera el nivel 1, aunque el camino termina en el nivel 1.

Esperemos que el siguiente gráfico ilustra el problema. Ambos caminos terminan en el nivel 0 (o 4), pero el camino de color rosa incumplido el nivel 1 y su rentabilidad sería (16-4) en lugar de (8-4) para la ruta verde.

Naturalmente, si el número de períodos de crecimiento, no podrían ser muchos más de los que 1 ruta que hace esto.

Dicho de otra manera, ¿cómo puedo calcular la cantidad de glóbulos rojos caminos en un N período de modelo?

Answer 1

La fórmula general para responder a esta pregunta se puede encontrar en la página 105-106 de Introducción a la Matemática de las Finanzas por Pliska.

En general: $\bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} \geq 4\left ( 2^{i} \derecho ) \right )$ (o la probabilidad de que el máximo hasta la fecha, el precio era de 4, 8, 16, etc) es igual a:

• la probabilidad de que el precio de las acciones de acabado en $M_{4}$; además de
• la probabilidad de que el precio exceda de $M_{4}$; además de
• la probabilidad de que el precio llegó a $M_{4}$ en algún momento, pero terminó por debajo de $M_{4}$.

La fórmula para evaluar esto se puede encontrar en las páginas de Pliska del libro mencionado anteriormente.

Sin embargo, para responder a esta pregunta, ¿qué se necesita para ser calculado es $\bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} = 4\left ( 2^{i} \derecho ) \right )$ de cada nivel $i$. El único de los niveles de $i$ que aportan valor a la opción es de $1 \leq i \leq 4$. La probabilidad de ser máximo exactamente $i$ puede ser calculado a través de:

• $\bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} \geq 4\left ( 2^{i} \derecho ) \derecho ) - \bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} \geq 4\left ( 2^{i+1} \derecho ) \right )$.

Una vez más, el uso de las fórmulas en Pliska del libro, $\bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} = 8\right )$ es dada por:

• $\bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} \geq 8\derecho ) - \bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} \geq 16 ) \right )$ = 25.92%
• $\bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} \geq 8\right )$ = 49.6%
• $\bar{\mathbb{P}}\left ( M_{4} \geq 16\right )$ = 23.68%

En este ejemplo he asumido r =10%, por lo que el riesgo neutral probabilidad de que un movimiento es de 40%.

Por lo tanto, no es un 25.92% de probabilidad de recibir $(8-4)=4$

Los mismos cálculos que hay que hacer para $M_{4} = 16,32$ y $64$ para determinar el precio de la opción.