Tengo dificultades derivadas de la no-cooperativa de Equilibrio de Nash de este problema.
La función objetivo es maximizar el total estimado de la renta durante los dos periodos de tiempo, que es:
\begin{align} \max_{S_i} (1-e_i S_i + P_i(S_i, S_j) \delta(1-\underline{S})) \end{align}
con $P_i(S_i, S_j)=\frac {S_i}{S_i+S_j}$, y $i,j \in \{A,B\}$ y $e_A=1-d$ y $e_B=1+d$
$S_i$ denota la calidad del servicio, $e_i$ es un parámetro que captura las necesidades de gasto en i$$, $P_i(S_i, S_j)$ es la re-elección de probabilidad, $\delta$ es el factor de descuento y $\underline{S}$ es el mínimo de calidad de servicio.
La solución del Equilibrio de Nash del juego es \begin{align} (S_A^*, S_B^*)=\Big(\frac{\delta (1+d)(1-\underline{S})}{4}, \frac{\delta (1-d)(1-\underline{S})}{4}\Big) \end{align}
He intentado pero no me da la misma solución.
Esto es lo que he hecho: Voy a resolver el problema de maximización de \begin{align} \frac {\partial{U_i}}{\partial{S_i}} = -e_i+\dfrac{\delta(1-\underline{S})S_j}{(S_i+S_j)^2}\stackrel{!}{=}0 \end{align}
y obtener la mejor responder función para $i$ y $j$, respectivamente, de la siguiente manera \begin{align} \delta(1-\underline{S})S_j=e_i(S_i+S_j)^2 \\ \delta(1-\underline{S})S_i=e_j(S_i+S_j)^2 \end{align}
Me imponer simetría $S_i=S_j=S^*$ a de la función de reacción y me sale esto: \begin{align} \delta(1-\underline{S})S^*&=e_i(2S^*)^2 \\ S^*&=\dfrac{\delta(1-\underline{S})}{4e_i} \end{align}
No estoy seguro de que aunque.
