Verificación de la identidad de una ecuación de la fórmula de Black Scholes

Question

Acabo de empezar a trabajar con la fórmula de Black Scholes con ayuda del libro Financial option valuation de Higham. Aparentemente es posible derivar la siguiente función:

$\log(\frac{SN'(d_1)}{e^{-r(T-t)}EN'(d_2)}) = 0$

De la fórmula de Black scholes:
$C(S,t)=SN(d_1)-Ee^{-r(T-t)}N(d_2)$

He estado dando vueltas pero estoy atascado. Aquí es donde he llegado hasta ahora, ¿sabes dónde me estoy equivocando?

$\log(\frac{SN'(d_1)}{e^{-r(T-t)}EN'(d_2)}) = \log(SN'(d_1))-\log(e^{-r(T-t)}EN'(d_2))=0$

Answer 1

Intento completar lo que Richard dejó para la segunda parte: $$\begin{align*} \exp(-r(T-t))E\, N'(d_2) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\, \exp\left(-\frac{1}{2}d_2^2\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\, \exp\left(-\frac{1}{2}\big(d_1-\sigma\sqrt{T-t}\,\big)^2\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\\ &\qquad\qquad \exp\left(-\frac{1}{2} d_1^2 -\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t) + d_1 \sigma\sqrt{T-t}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\\ &\qquad\qquad \exp\left(-\frac{1}{2} d_1^2 +\ln(S/E) + r(T-t)\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} S \, \exp\left(-\frac{1}{2}d_1^2\right)\\ &= SN'(d_1). \end{align*}$$ Eso es, $$\begin{align*} \ln\frac{SN'(d_1)}{\exp(-r(T-t))E\, N'(d_2)} = 0. \end{align*}$$

Answer 2

El numerador es $$S N'(d_1) = S \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(-1/2 d_1^2) = \\ S \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac12 \left(\log(S/E)+ (r + \frac12 \sigma^2(T-t)) \right)^2 / \sigma^2 (T-t) \right)$$ el denominador es: $$\exp(-r (T-t)) E N'(d_2) = \\ E \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac12 \left(\log(S/E)+(r- \frac12 \sigma^2(T-t)) \right)^2 / \sigma^2 (T-t) -r(T-t) \right).$$ Ahora que pasa si ampliamos el cuadrado, igualamos exp y log y si entonces nominador y denominador son iguales obtenemos el resultado.

EDIT: No he terminado el cálculo. Pero el latex de arriba es demasiado para un comentario. Tal vez usted puede hacer el cálculo. No es tan claro para ver si la afirmación es cierta ...