demostrar la normalidad, con momentos dados, de este proceso:

Question

Tengo este proceso:

$dx_t = -\frac{k}{2}x_tdt + \frac{\beta}{2}dz_t$

y debe demostrar que se distribuye normalmente con los dos primeros momentos:

$\mu = e^{-\frac{1}{2}kt}x_0$

$\sigma^2 = \frac{\beta^2}{4k}(1-e^{-kt})$

Traté de multiplicar $x_t$ por $e^{kt}$ y aplicar el Lemma de Ito a este "proceso de producto" para finalmente recuperar $x_t$ tomando exponenciales.

La normalidad es sencilla; la varianza está bien pero la media no, ya que me queda una integral cuyo integrando incluye $x_t$ y estoy atascado.

No sé si cometí algunos errores o adopté un enfoque equivocado desde el principio.

Answer 1

Tiene el siguiente SDE $$dx_t=-\frac{k}{2}x_t dt+ \frac{\beta}{2}dz_t \tag{1}$$ Considera, $f=e^{\frac{k}{2}t}x_t$ . Usando Ito: $$df= \frac{k}{2}e^{\frac{k}{2}t}x_t\, dt+ e^{\frac{k}{2}t} \,dx_t \tag{2} $$ Por lo tanto, tenemos \begin {align} d \left (e^{ \frac {k}{2}t}x_t \right )&= \frac {k}{2}e^{ \frac {k}{2}t}x_t\, dt + e^{{} \frac {k}{2}t} \left (- \frac {k}{2}x_t dt+ \frac { \beta }{2}dz_t \right ) \\ &= \frac { \beta }{2}e^{ \frac {k}{2}t}dz_t \end {align} Nota: El RHS no implica $x_t$ . Ahora integra ambos lados para obtener tu respuesta.