Métrica del error para la regresión de series de rendimientos superpuestos

Question

Quiero hacer una regresión de dos series de rendimientos. Calculo los rendimientos de 30 días y luego utilizo ventanas de rendimiento superpuestas para una regresión de 360 días (la regresión utiliza 11 puntos de datos).

¿Cuál es la forma correcta de pensar en la correlación? En este caso, mis rendimientos de 30 días no son independientes, por lo que tengo la sensación de que la correlación será drásticamente sobreestimada.

Idealmente, me gustaría tener una medida de correlación para saber qué tan bueno es el ajuste y para poder optimizar la ventana de retorno (30 días) y el período de tiempo (360 días) utilizados en la regresión.

Answer 1

Para no complicar las matemáticas con la notación vectorial, considere sólo un rendimiento de 2 días en lugar de 30 días.

Entonces, sus dos series de 2 días pueden ser enunciadas como ( $X_t, Y_t$ ) donde $X_t=x_t+x_{t-1}$ y $Y_t=y_t+y_{t-1}$ por poco $x,y$ los rendimientos diarios, es decir, de 1 día (log).

Entonces, $$Cov(X_t,Y_t) = E[(X_t-\mu_X)(Y_t-\mu_Y)] = E[(x_t-\mu_x+x_{t-1}-\mu_x)(y_t-\mu_y+y_{t-1}-\mu_y)]$$ , que después de expandirse nos da cuatro términos, $$Cov(X_t,Y_t)=E[(x_t-\mu_x)(y_t-\mu_y)+(x_{t-1}-\mu_x)(y_{t-1}-\mu_y)]+E[(x_t-\mu_x)(y_{t-1}-\mu_y)+(x_{t-1}-\mu_x)(y_{t}-\mu_y)]$$ $$Cov(X_t,Y_t)=2Cov(x_t,y_t) + Cov(x_{t-1},y_t) + Cov(x_t,y_{t-1})$$

En otras palabras, la covarianza del marco temporal de 2 días es el doble de la covarianza del marco temporal diario más las covarianzas de desplazamiento temporal. En la teoría de las opciones y el movimiento browniano, estos términos de desfase temporal se fijan en cero, de modo que la covarianza de un período n-largo es simplemente n veces la covarianza de un solo período.

Si aspira a las mismas características de modelización en sus datos, puede utilizar los rendimientos diarios y multiplicarlos por 30 como estimador de su covarianza a 30 días.