El coste variable es la suma del coste marginal

Question

Hemos aprendido en clase que el coste variable es la suma del coste marginal. Se me plantea la siguiente pregunta.

1. Suponga que usted es una empresa que maximiza sus beneficios en un mercado perfectamente competitivo. El coste marginal es MC(qi) = 10 + qi/4 y el precio de mercado de su producción es P= $60.

Calcular los costes variables. Así que el profesor sigue adelante y resuelve el área de un trapecio para obtener un coste variable de 7000 (cuando q=200) y eso está bien. Pero, ¿por qué obtengo una respuesta diferente cuando intento calcular la suma de una serie? Mi intento:

$$VC=(10+1/4)+(10+2/4)+...+(10+200/4)=2000+(200)(201)/8=7025$$

Está claro que 7025 no es igual a 7000, ¿qué está pasando aquí? Además, pensaba que el MC no debía incluir los costes fijos, así que ¿la ecuación MC(qi)=10+qi/4 sólo se define cuando qi es al menos 1? Gracias

Answer 1

Se puede obtener el coste variable como la suma de una serie en este caso porque la fórmula dada para el coste marginal es lineal. Pero hay una forma mucho más sencilla.

Primero el enfoque en serie . El primer término de su serie fue $10+1/4$ que es el coste marginal a $q=1$ . Esto ignora el hecho de que, según la fórmula, el coste marginal es menor siempre que $0 \leq q < 1$ . El primer término debería ser, en cambio, el coste marginal medio sobre el rango $[0,1]$ . Dado que el coste marginal a $q=0$ es $10$ , esto viene dado por:

$$(1/2)[10 + (10 + 1/4)] = 10 + 1/8$$

Ahora bien, la idea de un coste marginal para una cantidad inferior a una unidad puede parecer un sinsentido si se piensa en el coste marginal como el coste adicional atribuible a la unidad marginal. Pero sí tiene sentido para un bien que puede producirse en cantidades que no son números exactos de unidades de medida (por ejemplo, líquidos, polvos, medidos en unidades de capacidad o volumen). En tal caso, y dada la linealidad, el coste marginal puede definirse como $\Delta C/\Delta q$ donde el $\Delta$ indican cambios en el coste $C$ y $q$ respectivamente, y $\Delta q$ puede ser inferior a una unidad.

Por una lógica similar, el segundo término de la serie debería ser el coste marginal medio en el rango $[1,2]$ que es:

$$(1/2)[(10 + 1/4) + (10 + 2/4)] = 10 + 3/8$$

Continuando de esta manera hasta el último término que es el coste marginal medio sobre el rango $[199,200]$ que tenemos:

$$VC = (10 + 1/8) + (10 + 3/8) \dots + (10 + 399/8) = 2000 + (100)(400)/8 = 7000$$

(La fórmula $(100)(400)$ proviene de la suma de $100$ pares: $1+399$ , $3 + 397$ etc.)

Ahora el forma más sencilla . Dada la linealidad, no es necesario considerar intervalos de una unidad. La fórmula de promediación puede aplicarse simplemente a todo el intervalo $[0,200]$ como el siguiente:

$$\text{Variable cost = No. of units x Average marginal cost}$$

$$VC = (200)(1/2)[10 + (10 + 200/4)] = (200)(35) = 7000$$

Sin embargo, hay que tener en cuenta que ninguno de estos métodos funcionaría si la fórmula del coste marginal no fuera lineal. Si la fórmula no es lineal, habría que calcular una integral, como se ilustra en la respuesta de Herr K.

Answer 2

VC no es exactamente la suma de MC, sino la integral de ella. Una suma es el análogo discreto de una integral. Creo que te lo han dicho para ayudar a la comprensión intuitiva.

En general, \begin {ecuación} TC(Q)=FC+VC(Q) \end {ecuación} donde $FC$ es independiente de $Q$ . Para obtener MC, tomamos la derivada de TC con respecto a $Q$ : \begin {Ecuación} MC(Q)= \frac { \mathrm dTC(Q)}{ \mathrm dQ}= \frac { \mathrm dVC(Q)}{ \mathrm dQ}. \end {equation} La segunda igualdad se obtiene porque la diferenciación de una constante siempre da cero. Ahora para obtener VC a partir de MC, necesitamos la operación inversa a la diferenciación, que es la integración, es decir \begin {Ecuación} VC(Q)= \int_0 ^{Q}MC(q)\N-, \mathrm dq. \end {ecuación} En su ejemplo, dado $MC(Q)=10+\frac14Q$ y $Q=200$ , \begin {Ecuación} VC(200)= \int_0 ^{200} \left (10+ \frac14q\right ) \mathrm dq= \left.10q + \frac18q ^2 \right\vert_0 ^{200}=10(200)+ \frac {200^2}{8}=7000 \end {Ecuación}