Quiero encontrar el valor justo de una opción europea de efectivo-o-nada que paga \$1 si $S_t>K$ y $S$ supera el nivel $M<0, donde $S$ es el proceso libre de riesgo $dS_t=\sigma dW_t$.
Mi idea es definir un primer tiempo de pasaje $\tau$ al nivel $M$ (ya que la otra condición debe cumplirse de todos modos para obtener \$1 en el tiempo $T$) $(\tau=\min\{t;S_t=M\})$ y utilizar el principio de reflexión del movimiento Browniano para determinar la densidad de probabilidad de $\tau$.
Integrando ambos lados de la EDP, encontramos su solución $S_t=S_0+\sigma W_t$. Luego, aplicamos el principio de reflexión y el cambio de variable en la integración $\nu=w/\sqrt{t} \Rightarrow d\nu=dw/ \sqrt{t}$:
\begin{align*} \mathbb{P}(\tau\leq t)&=\mathbb{P}(\tau\leq t,S_t\geq M)+\mathbb{P}(\tau\leq t,S_t\leq M) \\ & = 2\mathbb{P}(\tau\leq t,S_t\geq M) \\ &=2\mathbb{P}(S_t\geq M) \\ & = 2\int_{M}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-w^2/2t}dw \\ & = 2\int_{M/\sqrt{t}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\nu^2/2}d\nu \\ & = 2-2\Phi\left(\frac{M}{\sqrt{t}}\right) \end{align*}
El valor justo de una opción estándar de efectivo-o-nada es $\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{I}_{\{S_t>K\}}]$. En este caso, creo que necesitamos multiplicar eso por $\mathbb{P}(\tau\leq t)$, es decir, el precio de la opción de efectivo-o-nada con barrera es:
$$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{I}_{\{S_t>K\}}]\times\mathbb{P}(\tau\leq t)$$ ¿Crees que esto es correcto?
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Incorrecto, no puedes simplemente sacar la probabilidad de $\{\tau \leq t\}$: $\{S_t>K\}$ y $\{\tau \leq t\}$ no son independientes.
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¡De acuerdo, sí estoy de acuerdo contigo! Entonces, ¿el precio de la opción debería ser $\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{I}_{\{S_t>K\}}\times\mathbb{I}_{\{\tau\leq t\}}]$? No veo cómo hacer el cambio de medida para resolver la integral. ¿La regla de la torre puede ayudar en este caso?