Cuando una cartera de cobertura $X$ se utiliza para fijar el precio de un activo $V $ que expira en el momento $T$ ¿se requiere que $X(t) = V(t) $ para todos $t\in [0, T]$ ?

Question

Cuando una cartera de cobertura $X$ se utiliza para fijar el precio de un activo $V$ que expira en el momento $T$ ¿se requiere que $X(t) = V(t)$ para todos $t\in [0, T]$ o basta con exigir simplemente $X(T)= V(T)$ ?

Siempre he pensado que el primer caso en el que $X(t) = V(t)$ para todos $t\in [0, T]$ es correcto. Sin embargo, Shreve en su libro Stochastic Calculus for Finance II parece afirmar lo contrario.

El ejercicio que se presenta a continuación parece afirmar que el proceso de la cartera $Y(t)$ de $\Delta(t)S(t)$ y coberturas del mercado monetario $C(t)$ porque $Y(T)=C(T)$ a.s. ¿Por qué no es necesario tener $Y(t) = V(t)$ para todos $t\in [0, T]$ ?

Answer 1

Publiqué una solución a esta y otras preguntas en el segundo volumen de Shreve en mi blog .

Para responder directamente a su pregunta :

• En primer lugar, hay que tener en cuenta que el proceso $C(t)$ representa una tasa de pago. Es decir, no hay un único pago final $C(T)$ pero en cada intervalo de tiempo $\mathrm{d}t$ el contrato paga $C(t)\mathrm{d}t$ . El flujo de caja total descontado que paga el contrato es \begin{equation} \int_0^T D(u) C(u) \mathrm{d}u \end{equation}

• Buscamos un patrimonio inicial $Y(0)$ y un proceso de cartera $\Delta(t)$ tal que el proceso de riqueza descontada \begin{equation} D(T) Y(T) = Y(0) + \int_0^T \Delta(u) D(u) S(u) \left( (\alpha(u) - R(u)) \mathrm{d}u + \sigma(u) \mathrm{d}W(u) \right) \end{equation} es igual al proceso de flujo de caja descontado con probabilidad uno, es decir \begin{equation} D(T) Y(T) = \int_0^T D(u) C(u) \mathrm{d}u \qquad \mathbb{P}\text{-a.s.} \end{equation}

• Mientras los procesos de valor descontado sean iguales, generalmente se tendrá $Y(t) \neq C(t)$ . Considere el siguiente ejemplo simplificado: \begin{equation} R(t) = 0, \quad T = 2, \quad C(t) = \begin{cases} 0 & \text{for } 0 \leq t < 1\\ 1 & \text{for } 1 \leq t \leq 2 \end{cases} \end{equation} Es decir, la tasa de pago es constante en cero para $t \in [0, 1)$ y constante en uno para $t \in [1, 2]$ (independiente de $W(t)$ ). Entonces $Y(0) = 1$ , $\Delta(t) = 0$ pero $C(0) = 0$ .

Answer 2

Creo que si $X(T)=V(T)$ pero $X(t) \ne V(t)$ habrías encontrado un arbitraje. Felicidades por estar en el camino de la riqueza.

Answer 3

Cuando una cartera de cobertura $X(t)$ se utiliza para fijar el precio de un activo $V(t)$ que expira en el momento $T$ se requiere que a.s. $$ X(t) = V(t) \quad t\in [0, T] \tag{1} \label{one}$$ De lo contrario, tendrá un arbitraje, como respondió ya

Sospecho que es la notación (probablemente intencionada) utilizada por Shreve en este ejercicio la que provoca la confusión.

Como se ha señalado correctamente ya , $C(t)$ representa una tasa de pago, NO un valor del activo, como es habitual. El activo cubierto por la cartera $X(t)$ es en realidad: $$V(t) = \tilde{\mathrm{E}} \int_t^T D(u) C(u) du \tag{2} \label{two}$$

$\eqref{one}$ se mantiene para el activo definido por $\eqref{two}$ . En particular, $$X(0) = \tilde{\mathrm{E}} \int_0^T D(u) C(u) du \\ X(T) = \tilde{\mathrm{E}} \int_T^T D(u) C(u) du = 0$$

Intuitivamente, $X(t)$ es igual a la cantidad de dinero restante esperada que un agente debe pagar hasta el momento $T$ calculado por $\eqref{two}$ .