Distribución de Black Scholes opción call de precio en el tiempo 0

Question

¿Alguien sabe cómo encontrar la probabilidad de ley (distribución) en P* de Black Scholes Opción Call de precio de $C_t$ para $0 < t < T $?

(En P*, $ dC_t = \frac{\partial c}{\partial s}\sigma S_t dW_t^{*} + rcdt $, donde $C_t = c(s,t)$, $t \in [0,T]$ )

Estoy esperando no va a ser el movimiento Browniano geométrico, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Gracias!

Answer 1

Este es el Black Scholes Llamada Precio:

\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\derecho) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\derecho) + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ &= d_1 - \sigma\sqrt{T t} \end{align}

Todos los parámetros, excepto el precio del subyacente $S$ se supone constante. $S$ tiene una distribución lognormal y sigue una GBM debajo de los $Q$:

$$S_t=S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_{t}^{P}}$$

Se puede observar directamente desde los $C(S,t)$ fórmula que la distribución de los $C$ no puede ser en la forma cerrada desde $N(*)$ no es en forma cerrada.

Puede simular la distribución de los $C$ por el dibujo que muchas de las muestras desde $W\sim N(0,T)$.