¿Cuál es la fórmula para calcular la constante hipotecaria cuando los pagos se realizan al principio del periodo?

Question

En este caso, la constante de la hipoteca (o constante del préstamo o constante de la deuda) es la relación (en mi caso, anual) entre los pagos constantes y el importe original, como aquí: http://www.double-entry-bookkeeping.com/periodic-payment/how-to-calculate-a-debt-constant/

Supongamos que tenemos un tipo de interés anual del 4,565% y 360 cuotas (préstamo a 30 años). En Excel, podemos especificar la siguiente fórmula:

PMT(0.04565/12, 360, -1, 0, 1) * 12

Cuando el valor actual es $1, future value is $ 0, y Tipo=1 significa que los pagos vencen al principio del periodo. El resultado es 6,1034%.

Cuando aplico la fórmula matemática, ésta supone que los pagos se realizan al final del periodo (¿o me equivoco?), por lo que donde

Debt Constant = (Interest Rate/12) / (1 - (1 / (1 + Interest Rate/12))^n) * 12
              = (0.04565/12) / (1 - (1 / (1 + 0.04565/12))^360) * 12
              = 6.1267%

¿Cómo se ajusta la fórmula para tener en cuenta los pagos efectuados al principio del periodo, ya que no se conoce el valor real a efectos de este cálculo? ¿O he entendido algo mal?

Gracias de antemano.

Answer 1

Respuesta corta

Su fórmula matemática puede ajustarse dividiendo por (1 + Interest Rate/12) es decir

Debt Constant =
(0.04565/12)/(1 - (1/(1 + 0.04565/12))^360)*12/(1 + 0.04565/12) =
0.0610344

Respuesta larga

La sintaxis de la fórmula de Excel es

PMT(rate, nper, pv, [fv], [type])

Ref. Función PMT de Excel

tipo = 1 es para pagos al principio del período, por lo que está calculando los pagos de una anualidad vencida.

PMT(0.04565/12, 360, -1, 0, 1) * 12 = 0.0610344

Su fórmula matemática es para una renta vitalicia ordinaria; los pagos se realizan al final del periodo.

Información relacionada: Cálculo del valor actual y futuro de las anualidades

Fórmula para una anualidad vencida (pagos al principio del período)

Con el director s , n periodos, tasa periódica r y pago periódico d

s = 1
n = 360
r = 0.04565/12

El principal es igual a la suma de los pagos descontados a valor actual.

 d = (r (1 + r)^(-1 + n) s)/(-1 + (1 + r)^n) = 0.0050862

12 d = 0.0610344

Derivación de la fórmula

Utilizando la teorema de la suma geométrica

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series#Formula

Answer 2

Supongamos que se parte de la fórmula para los pagos al principio del período y se desea saber cómo ajustarla para los pagos al final. Pues bien, cada pago va acumulando intereses a lo largo de todo un período. Así que tendría que multiplicar cada pago por el factor de interés de cada periodo. El tipo de interés de un periodo es el tipo de interés anual dividido por el número de periodos anuales. Como hay 12 periodos al año, el tipo de interés por periodo es 0,04565 (el interés anual) dividido por 12. El importe total es el capital más el tipo de interés multiplicado por el capital:

principal + (tipo de interés)*principal

Factor de la principal, y se obtiene:

principal*(1+tipo de interés)

Por tanto, el factor es 1+tipo de interés = 1+0,04565/12

Este es el factor por el que tenemos que multiplicar para ir del "principio del periodo" al "final del periodo", por lo que tenemos que dividir por él para ir en sentido contrario.