Si $X_t$ es un proceso de Lévy, es absolutamente continua? Significado, tiene una densidad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
drN
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La simple respuesta es "no". Lévy procesos no necesariamente tienen una densidad.
Accesible (y excelente) libro sobre el tema fue escrito por el Cont y Tankov (2004). La introducción al capítulo 11.1.3 lee como
Contrario a los clásicos de Black-Scholes caso, en exponencial Lévy modelos no hay fórmulas explícitas para la opción de compra de los precios, debido a que la probabilidad la densidad de un proceso de Lévy no es el que normalmente se conoce en forma cerrada. Sin embargo, la función característica de esta densidad se puede expresar en términos de funciones elementales para la mayoría de los procesos de Lévy discutido en la literatura. Esto ha llevado al desarrollo de Fourier opción basada en métodos de fijación de precios para exponencial Lévy modelos. En estos métodos, uno tiene que evaluar una transformada de Fourier numéricamente.
Estos métodos de Fourier fueron desarrollados por Carr y Madan (1999), quienes discuten la transformada rápida de Fourier, Lewis (2001), que cuenta generalizada de Fourier de la opción pagos y Bakshi y Madan (2000), quienes proporcionan económica profunda intuición y venir para arriba con un Black-Scholes como fórmula.
En algunos casos, usted puede encontrar de forma cerrada de opción de los precios. Obviamente, el movimiento Browniano geométrico de Black y Scholes (1973) es una exponencial Lévy proceso. Así es el salto de difusión de Kou (2002), e incluso para la varianza gamma proceso, tiene "forma cerrada" soluciones (usando funciones de Bessel modificadas y otras funciones especiales). Tenga en cuenta que los modelos también tienen una forma cerrada función de densidad. Pero en general, usted tiene que utilizar los métodos de Fourier. Mira la CGMY modelo de Carr et al. (2002), que generaliza la varianza gamma proceso y no puede ser descrita por una sola SDE. Tales procesos de Lévy se caracteriza por una Lévy triplete (determinista de la media, la varianza (difusión) y saltar componente).
Tenga en cuenta que los métodos de Fourier no están restringidos a exponencial Lévy modelos. También se aplican a la mayoría de los modelos de volatilidad estocástica, en particular la Heston (1993) modelo. Algunas de las extensiones de los básicos de los métodos de Fourier, sin embargo, se requieren incrementos independientes y excluir a los modelos de volatilidad estocástica.
