¿Cuándo son iguales los parámetros implícitos y los del mundo real?

Question

Supongamos que $T$ el vencimiento de un bono de riesgo que entra en impago con probabilidad $p$ a lo largo de su vida. Si no se paga, no se paga nada. Por lo tanto, el precio de este bono en términos de riesgo neutro daría

$$P=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(T-t)}(1-p)\right].$$

Si dicho bono y su precio fueran observables en el mercado podríamos estimar $p$ es decir, la probabilidad implícita de impago. Sin embargo, se sabe por la literatura que esta $p$ suele ser una sobreestimación de la probabilidad real de impago, véase por ejemplo Hull, White y Predescu ( http://www-2.rotman.utoronto.ca/~hull/Publicaciones descargables/CreditSpreads.pdf ). Esta diferencia puede entenderse como la prima de riesgo adicional para, por ejemplo, el riesgo de impago y el riesgo sistemático. Pero en este mismo documento se afirma además que sin primas de riesgo la probabilidad de impago implícita coincidiría con la probabilidad de impago real. Esto parece plausible, pero ¿cómo podría demostrar que esta afirmación es cierta? Estaba pensando en algo así como, utilizando por ejemplo el precio del bono anterior en la medida del mundo real:

$$P=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[e^{-\mu(T-t)}(1-p^*)-s_{premiums}\right],$$

donde $s_{premiums}$ el precio adicional de las primas de riesgo y $\mathbb{P}$ la medida del mundo real, $p^*$ la probabilidad de impago en el mundo real y $\mu$ el tipo de descuento correcto. Sin embargo, si $s_{premiums}=0$ entonces $p^*=p$ sólo si $r=\mu$ . ¿Me estoy perdiendo algo o es este el enfoque incorrecto, qué sugeriría usted?

Answer 1

Supongamos el vínculo anterior y dejemos que $\tau$ sea el tiempo por defecto, entonces por definición de la medida Q

\begin{align} P&=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(T-t)}1_{\tau>T}\right]\\ &=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[1_{\tau>T}\right]\\ &=e^{-r(T-t)}\mathbb{Q}(\tau>T). \end{align}

Para evaluar un precio justo en la medida del mundo real, primero tenemos que observar que recibir este bono no está libre de riesgo. Por lo tanto, para compensar al inversor con varios factores de riesgo requiere una prima adicional de $s_{premiums}$ . Obsérvese que no están relacionados con la aversión al riesgo si suponemos que el mercado es líquido, ya que entonces los precios convergen a un precio justo. Sin embargo, la cobertura de los riesgos costará dinero. Además, hay costes de transacción e incluso riesgo sistémico para los que no podemos cubrirnos, todos estos componentes requieren una prima adicional. Supongamos que esta prima se recibe al vencimiento $T$ entonces la remuneración final está libre de riesgo en el mundo real, de manera que

\begin{align} P&=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[e^{-r(T-t)}\left(1_{\tau>T}+s_{premiums}\right)\right]\\ &=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[1_{\tau>T}+e^{-r(T-t)}s_{premiums}\right]\\ &=e^{-r(T-t)}\mathbb{P}(\tau>T)+e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[s_{premiums}\right]. \end{align}

El resultado se deduce ahora de

$$ \mathbb{Q}(\tau>T)=\mathbb{P}(\tau>T)+\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[s_{premiums}\right], $$

tal que

$$ \mathbb{Q}(\tau>T)>\mathbb{P}(\tau>T).$$