¿Cuándo se puede mantener el ojo por ojo?

Question

Consideremos el siguiente juego de halcón y paloma que se repite infinitamente:

$\hspace{1cm}\hspace{1cm}\hspace{1cm}$

Para qué tipo de descuento $\delta$ puede mantener el ojo por ojo $D,D$ ? Mi profesor dice que la respuesta es $\delta=1$ (los descuentos se aplican por multiplicación, por ejemplo, el pago de 1 en el siguiente período da lugar a $\delta$ ).

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Me parece que hay que considerar dos casos:

1) Supongamos que empezamos con $D,D$ Entonces, el "ojo por ojo" sostiene esto $\iff$ $\frac{4}{1-\delta}>8+\frac{\delta}{1-\delta} \iff \delta>4/7$ .

2) Supongamos que empezamos en $H,H$ En el marco del "ojo por ojo", el jugador 1 restablecería $D,D$ si $\frac{1}{1-\delta}<0+\frac{4\delta}{1-\delta} \iff \delta>1/4$ .

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Historia $(D,D)$ (Sí, esto es con cierto abuso de la notación):

En el camino: Cada jugador obtiene un pago medio de $4$ .

Desviarse: Digamos que el jugador $1$ se desvía y en su lugar elige $H$ . Entonces la secuencia de acciones resultante es la secuencia alternante, $(H,D)$ , $(D,H)$ , $(H,D)$ ,...

En consecuencia, el jugador $1$ La secuencia de resultados de la empresa es $(8,0)$ , $(0,8)$ , $8,0$ ... Jugador $1$ La remuneración media de la empresa es $(1-\delta)\big(8 + 0 + \delta^{2}8 + 0 + \delta^{4}8 + \cdots\big)$ que es $$(1-\delta)\frac{8}{1-\delta^{2}}=(1-\delta)\frac{8}{(1-\delta)(1+\delta)}=\frac{8}{1+\delta}$$ Por lo tanto, aquí no hay desviación rentable si

$$\begin{split} 4 &\geq \frac{8}{1+\delta}\\ 4\delta &\geq 4\\ \delta &\geq 1 \end{split}$$

Así, $\delta \geq 1$ es una condición necesaria (no necesariamente suficiente, porque todavía tenemos que comprobar que seguir el ojo por ojo sigue siendo óptimo para las otras historias. Eso se lo dejo a usted).