Dado un hamiltoniano de la forma: \begin{ecuación} H_{t} = ln(c_{t}) \dot{} e ^{-\rho t} + \lambda_{t}(w+ra_{t}-c_{t}), \end{ecuación} con $c_{t}$ consumo en el tiempo t (la variable de control), $\rho > 0$ preferencia temporal, $w$ es una constante (por ejemplo, salarios), $a$ los activos mantenidos en el período t (esta es la variable de estado para que la dinámica está descrito por: $\frac{da_{t}}{dt}=\dot{a_{t}}= w+ra_{t}-c_{t})$ y $r$ el retorno sobre los activos.
Las condiciones de primer orden son:
$\frac{\partial H_{t}}{\partial c_{t}}=0$
$\frac{\partial H_{t}}{\partial a_{t}}=-\dot{\lambda_{t}}$, o, equivalentemente, $\frac{\partial H_{t}}{\partial a_{t}}+\dot{\lambda_{t}}=0$.
Nos enseñaron que $\frac{\partial H_{t}}{\partial a_{t}}$, puede ser interpretado como la marginal de retorno sobre los activos en t, y $\dot{\lambda}$ como una ganancia de capital. Juntos son la valoracion de retorno. Acompañando croquis con $a_{t}$ en el horizontal y $H_{t}$ en el eje vertical muestra $H_{t}$ es una función cóncava, con un máximo.
El growthpath para el consumo está dada por $\frac{\dot{c_{t}}}{c_{t}}=-\frac{\dot{\lambda_{t}}}{\lambda_{t}}-\rho$, por lo que el consumo crece con el tiempo si $\rho+\frac{\dot{\lambda_{t}}}{\lambda_{t}}<0$, es decir: el consumo crece si la relación capital pérdidas exceden el tiempo de preferencia. Como tal, la optimización de agente debe dejar su consumo de crecer cuando no son lo suficientemente grandes pérdidas de capital.
Mis preguntas son las siguientes:
¿Por qué $\dot{\lambda_{t}}$ interpretarse como una ganancia de capital?
Si hay ganancias de capital o pérdidas ($\dot{\lambda_{t}} \neq 0$), ¿cómo esta forma intuitiva y/o gráfica (en el $(a_{t},H_{t})$-diagrama) efecto de la optimización?
¿Por qué el consumo de crecer sólo en el caso de pérdidas de capital? Hay una explicación intuitiva?
