¿Cómo tener una estimación imparcial de la desviación estándar al usar rendimientos en movimiento?

Question

Quiero estimar la desviación estándar semanal de un proceso lognormal en una configuración habitual.

$$\frac{dS}{S} = (\dots) dt + \sigma dW$$ donde $\sigma$ es una constante y $W$ es un movimiento browniano.

El estimador habitual de la desviación estándar es $$\hat{s} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (r_i - \overline{r})^2}{n-1}}$$ donde $r_i = \ln{\frac{S_i*5\ días}{S_{(i-1)*5\ días}}}$ y $\overline{r}$ es el promedio de esos rendimientos.

Tengo una serie de tiempo diaria y no estoy tratando de capturar algún tipo de "efecto específico del día", así que me gustaría usar todos los incrementos acumulados $r_i = \ln{ \frac{S_i}{S_{i-5\ días}} }$ para tener más muestras. Mi problema es que esos rendimientos están correlacionados.

¿Existe un estimador no sesgado para los rendimientos correlacionados?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Su estimador $\hat{s_i}$ para la acción $i$ es un estimador insesgado de su desviación estándar latente $\sigma_i$ (que es constante para su modelo). Al aplicar su "ventana deslizante" para calcular $\hat{s_i}$, obtiene una serie temporal $ts_{\sigma_i}$ para cada acción $i$.

Con una regresión OLS solo con intercepto para cada serie temporal $ts_{\sigma_i}$,

$$\hat{s_{it}} = a + \epsilon_{it}$$

recibe la respectiva desviación estándar media $a$. Si bien la autocorrelación no sesga su estimación (puntual) de $a$, los errores estándar tienden a ser subestimados (y los t-scores sobreestimados) cuando las autocorrelaciones de los errores en retrasos bajos son positivas.

¿Cómo tener en cuenta la autocorrelación?

• Aplicar errores estándar HAC de Newey/West (1987), que corrige tanto la heterocedasticidad como la autocorrelación. El retraso temporal apropiado puede ser el número de períodos temporales superpuestos.

• Estimación Cochrane–Orcutt, que ajusta el modelo lineal para la correlación serial en el término de error. Tenga en cuenta que debe suponer una forma particular para la estructura de la autocorrelación (típicamente un proceso AR de primer orden). Este método está bien descrito en Econometría Introductoria para Finanzas de Chris Brooks, pp. 199.

• Errores estándar de Hansen Hodrick (1980) con $k-1$ períodos superpuestos. Un buen punto de partida es esta excelente respuesta.