Pregunta tonta: es neutrales al riesgo de precios teniendo esperanza condicional?

Question

Pregunta tonta: es neutrales al riesgo de precios teniendo esperanza condicional? $\etiqueta{1}$

En tratando de recordar intuición para los neutrales al riesgo de precios, creo que he leído que debemos de precios de los derivados del riesgo-neutral debido a que el riesgo ya se ha incorporado en la bolsa de valores o algo. Yo también creo recordar NNT diciendo algo acerca de cómo cierta información es irrelevante en el precio del petróleo si la información es pública.

Esto me hizo pensar neutrales al riesgo de precios en términos de la esperanza condicional.

Simple, supongo, pero no fue discutido en clases a partir de esperanza condicional y Radon-Nikodym enseñaron después de un período de modelo.

De lo que recuerdo de aquel período de modelo:

$$(\Omega \mathscr F, \mathbb P) = ((u,d),2^\Omega \text{mundo real}))$$ Bonos: $$\{B_t\}$$ $$B_0=1, B_1 = 1+R$$ Existencias: $$\{S_t\}$$ $$S_0 \en (0,\infty)$$ $$\mathbb P(S_1(u) = S_0u) = p_u > 0$$ $$\mathbb P(S_1(d) = S_0d) = p_d = 1 - p_u$$ Opción call europea: $X$ $$X(u) = S_1(u) - K$$ $$X(d) = 0$$ $$\text{Precio de proceso:} \ \{\Pi(X,t)\}$$

donde $t=0,1, u > 1+R > d > 0$.

Se puede demostrar que

$$\Pi(X,0) = \frac{1}{1+R}E^{\mathbb Q}[X] = \frac{1}{1+R}(q_uX(u) + q_dX(d))$$

donde $q_u, q_d$ son neutrales al riesgo probabilidades por debajo de $\mathbb Q$, equivalente a $\mathbb P$

También, creo que $\sigma(S_1) = \sigma(X) = \{\emptyset, \Omega \{u\}, \{d\}\}$

Tonta la pregunta se reformula:

$$\exists Z \in \mathscr L^1(\Omega \mathscr F, \mathbb P) \ \text{s.t.} \ E^{\mathbb Q}[X] = E^{\mathbb P}[X|Z]? \etiqueta{2}$$

Bueno, el lado izquierdo es una constante, mientras que el lado derecho, una variable aleatoria así que no estoy seguro de que eso tendría sentido

¿

$$\exists Z \in \mathscr L^1(\Omega \mathscr F, \mathbb P) \ \text{s.t.} \ E^{\mathbb Q}[X] = E^{\mathbb Q}[E^{\mathbb P}[X|Z]] \etiqueta{3}?$$

• Por $(2)$,

• Una cosa que me hizo:

  1. $E^{\mathbb Q}[X]$ es constante y por lo tanto $Z$medibles $\forall \ Z \in \mathscr L^1(\Omega \mathscr F, \mathbb P)$

  2. $$\int_z E^{\mathbb Q}[X] d \mathbb P = \int_z X d \mathbb P \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$

$$\ffi E[E^{\mathbb Q}[X]1_z] = E[X1_z] \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$ $$\ffi E^{\mathbb Q}[X]E[1_z] = E[X1_z] \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$ $$\ffi E^{\mathbb Q}[X]\mathbb P(z) = E[X1_z] \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$ $$\ffi \mathbb P(z) = \frac{E[X1_z]}{E^{\mathbb Q}[X]} \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$

No parece ser un a $Z$.

• Otra cosa que me hizo: Bueno, me hizo pensar de Radon-Nikodym (duh)

$$E^{\mathbb Q}[X] = E^{\mathbb P}[X \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}]$$.

Supongo que $Z = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ de lo contrario, no está seguro de cómo lo que es relevante, pero supongo que dado que $$\mathbb Q(z) = \int_z \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} d \mathbb P \ \forall z \in \sigma(Z) \subseteq 2^{\Omega}$$,

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ es una versión de $E[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} | Z]$

• Gee cómo informativo. Bueno, creo que $\sigma(Z)$ puede ser sólo sea $\{\emptyset, \Omega\}$, en cuyo caso el $Z$ es cualquier (casi seguramente?) constante variable aleatoria o $2^{\Omega} = \sigma(X) = \sigma(S_1)$, en cuyo caso $q_u = 1_{u}$, lo que tendría sentido iff $q_u$ es degenerado, que supongo que viola la equivalencia de la asunción.

• Por $(3)$,

Supongo que $Z=S_1$? No estoy seguro de lo que dice. Estaba un poco esperando (lol) que el mundo real las probabilidades de $E[1_A]$ y neutrales al riesgo probabilidades de $E[1_A | B] = \frac{E[1_A1_B]}{E[1_B]}$ como serían, respectivamente, antes de la P $(A)$ y posterior $P(A|B)$ probabilidades.

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Edit: $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{q_u}{p_u}1_{u} + \frac{q_d}{p_d}1_{d}$$ ?

Basado en la Sección 4.5 de Etheridge Un Curso de Cálculo Financiero, supongo

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = (\frac{q_u}{p_u})^u(\frac{q_d}{p_d})^{1-u}$$

Esto evita que el indicador de funciones en favor de los exponentes como en el teorema binomial, binomial o modelo de distribución binomial.

Answer 1

La fijación de precios neutrales al riesgo no está realmente relacionada con la probabilidad real $\mathbb P$ . En su lugar, se podría decir que el precio en el momento $k$ es la expectativa condicional de la remuneración futura dada la historia hasta el momento $k$ Así que $V_k=E(V_n\mid S_1,\dots, S_k)$ (en el caso de interés cero).

La fijación de precios neutrales al riesgo se reduce a lo siguiente.

En el modelo binomial de un período, se garantiza que el valor de la opción $V_1$ en el momento 1 será una función lineal del valor de la acción en el momento 1, $S_1$ . Eso es porque entre dos puntos cualesquiera $(S_1(H),V_1(H))$ y $(S_1(T),V_1(T))$ en el plano se puede dibujar un línea recta . Así que $$V_1=\alpha S_1+\beta$$ para la constante $\alpha$ , $\beta$ .

Ahora suponemos que el precio declarado de la acción en el momento 0, $S_0$ es la correcta. (Así que no nos planteamos la posibilidad de que tal vez las acciones estén mal valoradas).

Entonces, por el principio de que

el valor actual de dos coches mañana es el doble del valor actual de un coche mañana,

(por lo que, por supuesto, sólo comerciamos con estos coches, no los conducimos... es decir, no les asociamos ninguna utilidad) deberíamos tener $$V_0=\alpha S_0+\beta$$ (bueno, en el caso del interés cero). Eso es todo ahora has valorado la opción y has encontrado que el precio es $V_0$ .

Como lo anterior fue sólo un análisis a sangre fría del precio correcto, no estamos mostrando ninguna actitud positiva o negativa hacia el riesgo ... por lo que es neutral al riesgo.

Answer 2

Tratando de responder a mi pregunta.

3 objetivos incoherentes y mal presentados:

Objetivo 1 : Por qué $E^{\mathbb Q}[X]$ y no $E^{\mathbb P}[X]$ en el cálculo del precio, en términos de expectativa condicional?

Considere la expectativa condicional $E^{\mathbb P}[X|\mathscr G]$ donde $\mathscr G \subseteq \mathscr F$ . Entonces, tenemos 2 casos:

1. $\mathscr G = \mathscr G_0 := \{\emptyset, \Omega\} \to E^{\mathbb Q}[E^{\mathbb P}[X|\mathscr G]] = E^{\mathbb P}[X]$
2. $\mathscr G = \mathscr F \to E^{\mathbb Q}[E^{\mathbb P}[X|\mathscr G]] = E^{\mathbb Q}[X]$

Observamos que $E^{\mathbb P}[X]$ es la doble expectativa con $\mathscr G = \mathscr G_0$ que no debemos usar porque... no sé.

Objetivo 2 : Qué es $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ ?

Parece que los posibles candidatos son $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = A1_u + B1_d$ que satisfagan $E[X \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}] = X_uq_u+X_dq_d$ . Escribir $X=X_u1_u+X_d1_d$ Creo que podemos intentar $A = \frac{q_u}{p_u}$ y $B = \frac{q_d}{p_d}$

Objetivo 3 : Relacionar $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ a la expectativa condicional:

No estoy seguro. $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ se supone que es una versión de alguna expectativa condicional. Esto es lo que tengo hasta ahora:

• $X$ es una versión de $E[X|\mathscr F]$
• $E[X]$ es una versión de $E[X|\mathscr F_0]$
• $E^{\mathbb Q}[X]$ es una versión de $E^{\mathbb Q}[X|\mathscr F_0]$

Pero es $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ ¿una versión de algo?

Además de $E[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}|\mathscr F]$ y $E^{\mathbb Q}[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}|\mathscr F]$ Supongo que